Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = 3 et BC = 2.
Que vaut CD ?
D'après le cours, un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
[CD] est le côté opposé de [AB].
On a donc AB = CD.
Ainsi, CD = 3.
Soit ABCD un losange tel que AB = 5{,}2.
Que vaut AD ?
D'après le cours, un quadrilatère est un losange si et seulement tous ses côtés sont de même longueur.
On a donc AD = AB.
Ainsi, AD = 5{,}2.
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3 et BC = 4.
Que vaut AC ?
[AC] est une diagonale du rectangle ABCD. D'après le cours, tous les angles d'un rectangle sont des angles droits. Le triangle ABC est donc un triangle rectangle en B.
On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer AC :
AC^2 = AB^2 + BC^2\\\Leftrightarrow AC^2 = 3^2 + 4^2\\\Leftrightarrow AC^2 = 9 + 16\\\Leftrightarrow AC^2 = 25
Ainsi, AC = 5.
Soit ABCD un losange tel que AB = 6 et BD = 11.
On note I le point d'intersection des diagonales.
Que vaut AC ?
D'après le cours, les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu.
[BD] étant une des diagonales du losange et I étant le point d'intersection des diagonales, on peut déduire que I est le milieu de [BD], d'où :
BI = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5
De plus, on peut déduire que le triangle ABI est rectangle en I.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver AI :
AB^2 = AI^2 + BI^2\\\Leftrightarrow AI^2 = AB^2 - BI^2\\\Leftrightarrow AI^2 = 6^2 - 5{,}5^2\\\Leftrightarrow AI^2 = 36 - 30{,}25\\\Leftrightarrow AI^2 = 5{,}75\\\Rightarrow AI = \sqrt{5{,}75}\\\Leftrightarrow AI = 2{,}3979
Or, [AC] est une diagonale du losange, donc I est le milieu de [AC], d'où :
AC = 2AI = 2\times 2{,}3979
Ainsi, AC = 4{,}7958.
Soit ABCD un carré tel que AB = \sqrt{3}.
Que vaut BD ?
D'après le cours, tous les côtés d'un carré sont de même longueur et tous les angles sont des angles droits.
On peut donc déduire que AB = BC = CD = DA =\sqrt{3}.
On peut aussi déduire que le triangle ABD est rectangle en A.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver BD :
BD^2 = AB^2 + AD^2\\\Leftrightarrow BD^2 = \sqrt{3}^2 +\sqrt{3}^2\\\Leftrightarrow BD^2 = 3 + 3\\\Leftrightarrow BD^2 = 6
Ainsi, BD = \sqrt{6}.