Soit le triangle ABC quelconque représenté ci-dessous. On note [AI], [BJ] et [CK] les trois médianes du triangle, et O leur point d'intersection.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
On vérifie chaque proposition :
- J est le milieu de [AC] : [BJ] est la médiane du triangle passant par le sommet B. Par définition, elle coupe le côté opposé en son milieu, ici le segment [AC]. J est donc bien le milieu de [AC] : la proposition est vraie.
- O est le milieu de [AI] : D'après le cours, le point d'intersection des médianes est appelé centre de gravité du triangle et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. [AI] étant une des médianes, le point O n'est donc pas situé au milieu du segment [AI]. La proposition est fausse.
- BK = AK : [CK] est la médiane du triangle passant par le sommet C. Par définition, elle coupe le côté opposé en son milieu, ici le segment [AB]. K est donc bien le milieu de [AB] et on a bien BK = AK : la proposition est vraie.
- AJ = AK : On a montré que J est le milieu de [AC] et K le milieu de [AB]. On a donc AJ = JC et AK = BK. ABC étant un triangle quelconque dont on ne connaît pas les longueurs des côtés, on ne peut pas affirmer que AJ = AK : la proposition n'est pas vraie.
J est le milieu de [AC] et BK = AK sont les deux propositions vraies.
Soit le triangle ABC quelconque représenté ci-dessous. On note (CI) la médiatrice de [AB], (KJ) la médiatrice de [BC] et (LM) la médiatrice de [AC]. O est le point d'intersection des trois médiatrices.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
On vérifie chaque proposition :
- I est le milieu de [AB] : (CJ) est la médiatrice du segment [AB]. Par définition, I est donc bien le milieu de [AB] : la proposition est vraie.
- L est le milieu de [BC] : (ML) est la médiatrice du segment [AC]. M est donc le milieu de [AC] mais L n'est pas le milieu de [BC]. La proposition est fausse.
- AM = CM : (ML) est la médiatrice du segment [AC]. M est donc le milieu de [AC] et donc AM = CM : la proposition est vraie.
- AK = KC : (KJ) est la médiatrice du segment [BC]. J est donc le milieu de [BC] mais on ne peut pas affirmer que K est le milieu de [AC] : la proposition n'est pas vraie.
I est le milieu de [AB] et AM = CM sont les deux propositions vraies.
Soit le losange ABCD représenté ci-dessous.
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
On vérifie chaque proposition :
- I est le milieu de [AC] : [AC] et [BD] sont les diagonales du losange. Or les diagonales d'un losange se coupent en leurs milieux respectifs. Leur point d'intersection I est donc le milieu de [AC] : la proposition est vraie.
- I est le milieu de [BD] : [AC] et [BD] sont les diagonales du losange. Or les diagonales d'un losange se coupent en leurs milieux respectifs. Leur point d'intersection I est donc le milieu de [BD] : la proposition est vraie.
- AI = CI : I est le milieu du segment [AC]. Donc AI = CI : la proposition est vraie.
- AI = BI : Les diagonales d'un losange ne sont pas nécessairement de même longueur. I étant le milieu de [AC] et [BD], on a AI = CI et BI = DI mais pas AI = BI : la proposition est fausse dans le cas général.
I est le milieu de [AC], I est le milieu de [BC] et AI = CI sont les trois propositions vraies.
Soit le rectangle ABCD représenté ci-dessous. On note O le point d'intersection de ses diagonales et (IJ) la médiatrice de [AB].
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
On vérifie chaque proposition :
- OA = OD : Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [BD] et [AC]. On a donc OB = OD et OA = OC, ainsi que BD = AC. On peut donc en déduire que OA = OD : la proposition est vraie.
- CJ = JD : la droite (IJ) est la médiatrice de [AB]. Elle coupe donc [AB] perpendiculairement en son milieu. Or [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur. (IJ) est donc aussi la médiatrice de [CD], et J le milieu de [CD]. On a donc bien CJ = JD : la proposition est vraie.
- O n'est pas le milieu de [BD] : Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [BD] : la proposition est fausse.
- BO = BI : I est le milieu de [AB] et O le milieu de [BD]. Or [AB] et [BD] ne sont pas de même longueur. L'égalité BO = BI est donc fausse.
OA = OD et CJ = JD sont les deux propositions vraies.
Soit le carré ABCD représenté ci-dessous. On note O le point d'intersection de ses diagonales et (IJ) la médiatrice de [AB].
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
On vérifie chaque proposition :
- OB = OA : Les diagonales d'un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [BD] et [AC]. On a donc OB = OD et OA = OC, ainsi que BD = AC. On peut donc en déduire que OB = OA : la proposition est vraie.
- CJ = IB : la droite (IJ) est la médiatrice de [AB]. Elle coupe donc [AB] perpendiculairement en son milieu. Or [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur. (IJ) est donc aussi la médiatrice de [CD], et J le milieu de [CD]. On a donc bien CJ = IB : la proposition est vraie.
- O n'est pas le milieu de [BD] : Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [BD] : la proposition est fausse.
- BO = BI : I est le milieu de [AB] et O le milieu de [BD]. Or [AB] et [BD] ne sont pas de même longueur. L'égalité BO = BI est donc fausse.
OB = OA et CJ = IB sont les deux propositions vraies.