On se propose de réduire le problème d'un imprimeur.
L'objectif de l'imprimeur est de réduire la quantité de papier utilisée pour écrire une page. Il a néanmoins les contraintes suivantes :
- Les marges en haut et en bas du texte sont de 2 cm.
- Les marges de gauche et de droite sont de 1,5 cm.
- Il faut au minimum 300 cm2 de texte par page.
On appelle x la longueur de la page et y sa largeur.
En posant a et b les dimensions de l'espace où le texte est imprimé et en supposant que cet espace est de 300 cm2, quelle est l'expression de y en fonction de x ?
On pose a et b les longueurs et largeur de l'espace du texte sur la page.
On a donc :
ab=300, c'est-à-dire b=\dfrac{300}{a}
De plus :
x = 2\times 2 + a \Leftrightarrow a=x-4
Et :
y=1{,}5\times 2 + b = 3 + \dfrac{300}{a} = 3+ \dfrac{300}{x-4}= \dfrac{3(x-4)}{x-4} + \dfrac{300}{x-4} = \dfrac{300-12+3x}{x-4} = \dfrac{288+3x}{x-4}
Ainsi, y = \dfrac{288+3x}{x-4}.
Quelle est l'expression de A(x) l'aire de la page en fonction de x que l'on peut en déduire et quel est son ensemble de définition D ?
L'aire d'un rectangle de longueur x et de largeur y est :
xy
Donc :
A(x)=xy
Or d'après la question précédente :
y=\dfrac{288+3x}{x-4}
Donc en remplaçant y dans l'expression de A(x) :
A(x) = x \times \dfrac{288+3x}{x-4} = \dfrac{288x+3x^2}{x-4}
Cette fonction est un quotient de fonctions.
La contrainte des marges de la feuille nous impose d'avoir x>4.
Et sur D = ]4;+\infty[ , la fonction A est bien définie car :
- x\mapsto 288x+3x^2 est définie sur \mathbb{R} ;
- x\mapsto x-4 est définie sur \mathbb{R} mais ne doit pas s'annuler car x-4 est au dénominateur de A(x).
La fonction donnant l'aire de la page en fonction de x est donc :
A(x) = \dfrac{288x+3x^2}{x-4}
Son ensemble de définition est :
D = ]4;+\infty[
Que peut-on dire à propos des variations de la fonction A ?
Pour étudier les variations d'une fonction on s'intéresse à sa dérivée.
La dérivée d'un quotient est :
\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v -v'u}{v^2} .
Ici :
u(x) = 3x^2+288x donc u'(x) = 6x+288
Et :
v(x) = x-4 donc v'(x) = 1
Ainsi :
A'(x) = \dfrac{(6x+288)(x-4) - (3x^2+288x)}{(x-4)^2}=\dfrac{6x^2-24x-1152-3x^2}{(x-4)^2}=\dfrac{3x^2-24x-1152}{(x-4)^2}
On cherche le signe de cette dérivée sur D.
Sur \mathbb{R}, (x-4)^2 est positif en tant que carré d'une expression.
On calcule le discriminant du numérateur de A'(x) :
\Delta = 576-4\times 3 \times (-\text{1 152}) = \text{14 400}
On peut ainsi calculer les racines du polynôme 3x^2-24x-\text{1 152} :
x_1=\dfrac{24-120}{6}=-16
x_2 = \dfrac{24+120}{6}=24
Comme le signe du coefficient de x^2 dans le polynôme est positif, ce polynôme est positif à l'extérieur de l'intervalle délimité par ses racines et négatif à l'intérieur.
Finalement, avec ces informations, on peut déduire :
A'(x) >0 sur \left] 24;+\infty \right[
A'(x) \leq 0 sur \left] 4; 24 \right]
On peut finalement en déduire les variations de A :
A est décroissante sur \left]4;24\right[ .
A est croissante sur \left] 24 ;+\infty \right[ .
A est donc décroissante sur \left] 4 ; 24\right[ et croissante sur \left]24;+\infty\right[ .
Quelles doivent être les valeurs de x et y afin de minimiser la quantité de papier utilisée ?
On veut minimiser A sur ]4; + \infty [.
La fonction atteint son minimum sur cet intervalle en x=24 d'après la question précédente.
L'aire alors obtenue est de 420 cm2.
De plus, d'après le résultat de la question 1 :
y = \dfrac{288+3\times 24}{24-4} = 18
Les dimensions minimales pour l'imprimeur sont donc : 24\times 18 cm.