On considère le quadrilatère ABCD dont les points sont :
A \: (-2 ; -2)
B \: (-4 ; 2)
C \: (2 ; 5)
D \: (4; 1)
Quelles sont les coordonnées du point I, point d'intersection entre les diagonales du quadrilatère ?
Déterminons les équations cartésiennes des deux droites (AC) et (BD).
(AC) est une droite, donc son équation est celle d'une fonction affine.
Donc il existe a et b tels que l'équation de la droite (AC) soit : y=ax+b.
D'après le cour, le coefficient directeur a d'une droite passant par les points A et C est :
\dfrac{y_C - y_A }{x_C -x_A} = \dfrac{5-(-2)}{2-(-2)}=\dfrac{7}{4}
Ainsi l'équation est :
y=\dfrac{7}{4}x+b .
Pour déterminer b, on utilise les coordonnées de A :
A \in (AC) donc y_A=\dfrac{7}{4}x_A+b \Leftrightarrow -2+\dfrac{7}{2}=b \Leftrightarrow b=\dfrac{3}{2}
L'équation de (AC) est :
y=\dfrac{7}{4}x +\dfrac{3}{2}
On procède de la même manière pour (BD) :
a= \dfrac{1-2}{4-(-4)}= \dfrac{-1}{8}
y_D = \dfrac{-1}{8}x_D + b \Leftrightarrow 1=\dfrac{-1}{8} \times 4 +b \Leftrightarrow b=\dfrac{3}{2}
L'équation de (BD) est :
y=\dfrac{-1}{8}x +\dfrac{3}{2}
Le point I appartient aux deux droites, donc ses coordonnées sont solution des deux équations. Afin de trouver les coordonnées de I, on résout donc le système :
\left \{ \begin{array}{rcl}y=\dfrac{7}{4}x+\dfrac{3}{2} \\ y=\dfrac{-1}{8}x+\dfrac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{8}x = 0 \\ y=\dfrac{-1}{8}x+\dfrac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \dfrac{15}{8}x=0\\ y=\dfrac{-1}{8}x+\dfrac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} x=0 \\ y=\dfrac{3}{2} \end{array} \right.
Les coordonnées du point d'intersection des diagonales sont donc : I \: (0;\dfrac{3}{2}) .
Quelles sont les distances AI, BI, CI et DI ?
On rappelle que la distance entre deux points se calcule avec la formule suivante :
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 }
Donc :
AI = \sqrt{(0-(-2))^2+(\dfrac{3}{2}-(-2))^2} = \sqrt{4+49/4} = \sqrt{\dfrac{65}{4}}
BI = \sqrt{(0-(-4))^2+(\dfrac{3}{2}-2)^2} = \sqrt{16+1/4} = \sqrt{65/4}
CI = \sqrt{(0-2))^2+(\dfrac{3}{2}-5)^2} = \sqrt{\dfrac{65}{4}}
DI = \sqrt{(0-4)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2} = \sqrt{16+1/4} = \sqrt{65/4}
Ainsi :
AI = CI = \sqrt{\dfrac{65}{4}}
BI=DI = \sqrt{\dfrac{65}{4}}
Que peut-on en déduire au sujet du quadrilatère ABCD ?
D'après l'une des propositions sur les quadrilatères vues lors des années précédentes, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Ici, on a AI=CI et BI= DI avec I le point d'intersection des diagonales donc les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu.
Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
Que vaut \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} ?
Pour calculer un produit scalaire, on a besoin d'un vecteur directeur de chaque droite.
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr Y_B-y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 -(-2) \cr 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cr 4 \end{pmatrix}
De la même façon :
BC \begin{pmatrix} 2-(-4) \cr 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \cr 3 \end{pmatrix}
On peut maintenant calculer le produit scalaire :
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{BC} = x_{AB}x_{BC} + y_{AB}y_{BC} = -2\times 6 + 4 \times 3 = 0
Ainsi :
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{BC} = 0
Que peut-on en déduire au sujet du quadrilatère ABCD ?
D'après les propositions relatives aux parallélogrammes étudiées les années précédentes, un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.
Or, ici, d'après la question précédente, les vecteurs directeurs de (AB) et (BC) sont orthogonaux, donc ces deux droites se coupent en angle droit.
Ainsi, l'angle \widehat{ABC} est droit.
ABCD est donc un rectangle.