On considère un triangle ABC tel que :
- I est le point du segment [BC] tel que l'on ait BI= \dfrac{2}{3} BC .
- J est le milieu du segment [BC].
- (\Delta) est la droite parallèle à (AB) passant par C.
- D est le point d'intersection de (AI) et de (\Delta).
Quelle figure correspond à la situation décrite précédemment ?
La figure qui correspond à la situation précédemment décrite est la suivante :
Que vaut le rapport \dfrac{IB}{IC} ?
On a :
IB = BC - IC
Donc :
\dfrac{IC}{IB} = \dfrac{BC - IB}{IB} = \dfrac{BC}{IB} - 1
Or, on sait que :
BI= \dfrac{2}{3} BC
Donc :
\dfrac{BC}{IB} = \dfrac{3}{2}
En remplaçant, on a :
\dfrac{IC}{IB} = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}
Finalement, en inversant le rapport, on obtient : \dfrac{IB}{IC} = 2 .
Quelle relation existe-t-il entre AB et CD ?
A, I, et D sont alignés.
B, I, et C sont alignés.
(AB) et (DC) sont parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans une configuration « papillon ».
On a :
\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{IB}{IC}
Et on sait que :
\dfrac{IB}{IC} = 2
Donc :
\dfrac{AB}{CD} = 2
Ainsi, AB = 2 CD .