Soit \mathcal{C}_1 un cercle de centre A et \mathcal{C}_2 un cercle de centre B , tous deux de même rayon R , tels que AB < 2R . On note H le milieu du segment [AB] et C un des points d'intersection des deux cercles.
On indique :
AB = 10
AC = 7
L'objectif est de calculer HC .
Quelle relation existe entre AH , HC et AC ?
Le point H appartient au cercle \mathcal{C}_1 donc AC est un rayon de \mathcal{C}_1 .
De même, il appartient à \mathcal{C}_2 donc BC est un rayon de \mathcal{C}_2 .
Or, \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 sont de même rayon donc AC = BC et ABC est un triangle isocèle.
Comme H est le milieu de [AB] , [HC] est une médiane de ABC , et comme le triangle est isocèle, il s'agit également d'une médiatrice. Donc la droite (HC) est perpendiculaire à la droite (AH) , et le triangle AHC est rectangle.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
AC^2 = AH^2 + HC^2
Que vaut HC^2 ?
D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle AHC , on a :
HC^2 = AC^2 - AH^2
Or :
AH = HB = \dfrac{1}{2} AB
Donc :
HC^2 = AC^2 - \dfrac{1}{4} AB^2
D'après l'énoncé :
AB = 10
AC = 7
Ainsi :
HC^2 = 7^2 - \dfrac{1}{4} 10^2 = 49 - \dfrac{100}{4} = 49 - 25
Ainsi, HC^2 = 24 .
Que vaut HC ?
On a :
HC^2 = 24
Donc :
HC = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{2^2 \times 6} =\sqrt{2^2}\times \sqrt{6}
Ainsi, HC = 2 \sqrt{6} .