Déterminer si une force est conservative à l'aide du théorème de l'énergie mécanique Exercice

D'après le théorème de l'énergie mécanique, toutes les forces appliquées sont conservatives si la variation d'énergie mécanique est nulle.

• Au point A :

E_{ppA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}
et
E_{cA(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2

E_{mA(\text{J})}=E_{ppA(\text{J})}+E_{cA(\text{J})}

E_{mA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2

Avec les données de l'énoncé :
E_{mA(\text{J})}=5{,}0\times 9{,}8\times 0+\dfrac{1}{2} \times 5{,}0\times 20^2\\E_{mA(\text{J})}=1{,}0\times 10^{3} \ \text{J}

 

•  Au point B :

E_{ppB(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{B(\text{m})}
et
E_{cB(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{B(\text{m.s}^{-1})}^2

E_{mB(\text{J})}=E_{ppB(\text{J})}+E_{cB(\text{J})}

E_{mB(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{B(\text{m})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{B(\text{m.s}^{-1})}^2

Avec les données de l'énoncé :
E_{mB(\text{J})}=5{,}0\times 9{,}8\times 15+\dfrac{1}{2} \times 5{,}0\times 9{,}0^2\\E_{mB(\text{J})}=9{,}4\times 10^{2} \ \text{J}

 

• Comparaison des énergies mécaniques entre le point de départ et le point d'arrivée :

E_{mB(\text{J})} \neq E_{mA(\text{J})}

Donc toutes les forces ne sont pas conservatives.

Sachant que le poids est une force conservative, ceci signifie que la 2^e force n'est pas conservative.

D'après le théorème de l'énergie mécanique, toutes les forces appliquées sont conservatives si la variation d'énergie mécanique est nulle.

• Au point A :

E_{ppA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}
 et
E_{cA(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2

E_{mA(\text{J})}=E_{ppA(\text{J})}+E_{cA(\text{J})}

E_{mA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2

Conversion d'unité pour la masse :
m = 250\ \text{g} = 250.10^{-3} \ \text{kg}

Avec les données de l'énoncé :
E_{mA(\text{J})}=250.10^{-3}\times 9{,}8\times 3{,}0+\dfrac{1}{2} \times 250.10^{-3}\times 0^2\\E_{mA(\text{J})}=7{,}4 \ \text{J}

 

•  Au point B :

E_{ppB(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{B(\text{m})}
et
E_{cB(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{B(\text{m.s}^{-1})}^2

E_{mB(\text{J})}=E_{ppB(\text{J})}+E_{cB(\text{J})}

E_{mB(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{B(\text{m})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{B(\text{m.s}^{-1})}^2

Avec les données de l'énoncé :
E_{mB(\text{J})}=250.10^{-3}\times 9{,}8\times 0{,}45+\dfrac{1}{2} \times 250.10^{-3}\times 7{,}1^2\\E_{mB(\text{J})}=7{,}4 \ \text{J}

 

• Comparaison des énergies mécaniques entre le point de départ et le point d'arrivée :

E_{mB(\text{J})} = E_{mA(\text{J})}

Donc toutes les forces sont conservatives.

D'après le théorème de l'énergie mécanique, toutes les forces appliquées sont conservatives si la variation d'énergie mécanique est nulle.

• Au point A :

E_{ppA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}
et
E_{cA(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2

E_{mA(\text{J})}=E_{ppA(\text{J})}+E_{cA(\text{J})}

E_{mA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2

Conversion d'unité pour la vitesse :
v_{A(\text{m.s})}=\dfrac{v_{A(\text{km.h}^{-1})}}{3{,}6}\\v_{A(\text{m.s})}=\dfrac{15}{3{,}6}

Avec les données de l'énoncé :
E_{mA(\text{J})}=60{,}3\times 9{,}8\times 1{,}5+\dfrac{1}{2} \times 60{,}3\times (\dfrac{15}{3{,}6})^2\\E_{mA(\text{J})}=1{,}4\times 10^3 \ \text{J}

 

•  Au point B :

Avec les données de l'énoncé :
E_{mB(\text{J})}=1{,}4.10^{3} \ \text{J}

 

• Comparaison des énergies mécaniques entre le point de départ et le point d'arrivée :

E_{mB(\text{J})} = E_{mA(\text{J})} soit \Delta E_{m(\text{J})} = 0\ \text{J}.

Donc toutes les forces sont conservatives.

D'après le théorème de l'énergie mécanique, toutes les forces appliquées sont conservatives si la variation d'énergie mécanique est nulle.

• Au point A :

E_{ppA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}
et
E_{cA(\text{J})}=4{,}5.10^{-1}\ \text{J}

E_{mA(\text{J})}=E_{ppA(\text{J})}+E_{cA(\text{J})}

E_{mA(\text{J})}=m_{(\text{kg})}\times g_{(\text{m.s}^{-2})}\times z_{A(\text{m})}+E_{cA(\text{J})}

Conversion d'unités pour l'altitude et la masse :
z_A= 4{,}5\ \text{cm}=4{,}5.10^{-2}\ \text{m}
m=350\ \text{g}=350.10^{-3}\ \text{kg}

Avec les données de l'énoncé :
E_{mA(\text{J})}=350.10^{-3}\times 9{,}8\times 4{,}5.10^{-2}+4{,}5.10^{-1}\\E_{mA(\text{J})}=6{,}0.10^{-1} \ \text{J}

 

•  Au point B :

Avec les données de l'énoncé :
E_{mB(\text{J})}=1{,}5.10^{4} \ \text{J}

 

• Comparaison des énergies mécaniques entre le point de départ et le point d'arrivée :

E_{mB(\text{J})} \neq E_{mA(\text{J})} soit \Delta E_{m(\text{J})} \neq 0\ \text{J}.

Donc toutes les forces ne sont pas conservatives.

Or, le poids est une force conservative. La 2^e force est donc non conservative.

D'après le théorème de l'énergie mécanique, toutes les forces appliquées sont conservatives si la variation d'énergie mécanique est nulle.

Ici, le mouvement est horizontal donc E_{ppA(\text{J})}=E_{ppB(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}.

• Au point A :

E_{ppA(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}
E_{cA(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2
E_{peA(\text{J})}=q_{(C)}\times V_{A(V)}

E_{mA(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+E_{cA(\text{J})}+E_{peA(\text{J})}
E_{mA(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{A(\text{m.s}^{-1})}^2+q_{(C)}\times V_{A(V)}

 

Avec les données de l'énoncé :
E_{mA(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+\dfrac{1}{2} \times 1{,}67.10^{-27}\times 80^2+1{,}6.10^{-19}\times3{,}6\\E_{mA(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+5{,}8.10^{-19} \ \text{J}

 

•  Au point B :

E_{ppB(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}
E_{cB(\text{J})}=\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{B(\text{m.s}^{-1})}^2
E_{peB(\text{J})}=q_{(C)}\times V_{B(V)}

E_{mB(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+E_{cB(\text{J})}+E_{pe(\text{J})}
E_{mB(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+\dfrac{1}{2} \times m_{(\text{kg})}\times v_{B(\text{m.s}^{-1})}^2+q_{(C)}\times V_{B(V)}

Avec les données de l'énoncé :
E_{mB(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+\dfrac{1}{2} \times 1{,}67.10^{-27}\times (4{,}3.10^4 )^2+1{,}6.10^{-19}\times (-6{,}0)\\E_{mB(\text{J})}=E_{pp(\text{J})}+5{,}8.10^{-19} \ \text{J}

 

• Comparaison des énergies mécaniques entre le point de départ et le point d'arrivée :

E_{mB(\text{J})} = E_{mA(\text{J})}

Donc toutes les forces sont conservatives.