L'accélérateur linéaire 2 (Linac 2) constitue le point de départ des protons utilisés dans les expériences menées au CERN. Les protons passent dans une série de conducteurs métalliques coaxiaux.
Son mode de fonctionnement est le suivant :
Au sein de conducteurs règne un champ électrique nul. Les protons sont accélérés par une tension U_C chaque fois qu'ils passent d'un tube à l'autre. Les protons sont injectés avec une vitesse \overrightarrow{v_0} = v_0. \overrightarrow {u_z} parallèle à l'axe de l'accélérateur et générée par une tension pré-accélératrice U_0.
Données :
- On néglige le poids des particules.
- Charge élémentaire : e = 1{,}6 \times 10^{-19} \text{ C}
- Masse d'un proton : m_P = 1{,}6 \times 10^{-27} \text{ kg}
Quel est l'accroissement de l'énergie cinétique d'un proton lorsqu'il passe entre deux tubes voisins ?
On note A le point correspondant à la sortie d'une tube et B le point correspondant à l'entrée dans le tube suivant. Entre ces deux points règne la tension U_c. On note \Delta E_{c} l'accroissement d'énergie cinétique d'un proton entre ces deux points.
On néglige le poids des protons, donc le proton est seulement soumis à l'énergie potentielle électrique résultant de la tension U_c, notons \overrightarrow{F_c} la force électrostatique associée. On applique le théorème de l'énergie cinétique au proton entre A et B, on obtient :
\Delta E_{c} = W_{AB}(\overrightarrow{F_{c}}) = -e×V_B+e×V_A = e \times U_c
L'accroissement de l'énergie cinétique d'un proton lorsqu'il passe entre deux tubes voisins est donc :
\Delta E_{c} = e \times U_c
Quelle est l'énergie cinétique d'un proton en entrée du premier tube en fonction de U_0 et de e ?
On note T et T' les deux points entre lesquels règne la tension pré-accélératrice U_0 et notons \Delta_0 E_{c} l'accroissement d'énergie cinétique d'un proton entre ces deux points.
On néglige le poids des protons donc le proton est seulement soumis à l'énergie potentielle électrique résultant de la tension U_0. On note \overrightarrow{F_0} la force électrostatique associée. On applique le théorème de l'énergie cinétique au proton entre T et T', on obtient :
\Delta_0 E_{c} = W_{TT'}(\overrightarrow{F_{0}}) = -e×V_T'+e×V_T = e \times U_0
Au point T, avant de traverser le champ pré-accélérateur de tension U_0, le proton a une vitesse nulle, donc E_C(T) = 0 et :
\Delta_0 E_{c} = W_{TT'}(\overrightarrow{F_{0}}) = E_C(T') - E_C(T) = E_C(T) = E_{C0} = e \times U_0
L'énergie cinétique d'un proton en entrée du premier tube est donc :
E_{C0} = e \times U_0
Quelle est l'expression de l'énergie cinétique des protons à la sortie du n-ième tube en fonction de e, U_C et U_0 ?
L'énergie cinétique à la sortie du n-ième tube est égale à la somme de l'énergie cinétique initiale de l'électron quand il rentre dans le premier tube E_{c0} et de la variation d'énergie cinétique entre le premier et le n-ième tube \Delta_nE_c :
E_{cn} = E_{c0} + \Delta_n E_c
On détermine la variation d'énergie cinétique entre le premier et le n-ième tube \Delta_nE_c. Les protons sont accélérés dans les interstices entre chaque tube, il y a n-1 interstices entre le premier et le n-ième tube. À chaque interstice, le proton subit une variation d'énergie cinétique \Delta E_{c} = e \times U_c. Par conséquent :
\Delta_nE_c = (n-1) \times \Delta E_C = (n-1) \times e\times U_C
Ainsi :
E_{cn} = e\times U_0 + (n-1)\times e \times U_c
Combien vaut la vitesse des protons à la sortie du 15e tube pour U_0 = 450 \text{ kV} et U_C = \text{2 000 kV} ?
D'après la question précédente, on sait que l'énergie cinétique à la sortie du n-ième tube vaut :
E_{cn} = e\times U_0 + (n-1)\times e \times U_c
Or :
E_{cn} = \dfrac{1}{2} \times m_P \times v_n^2
Donc :
v_n = \sqrt{\dfrac{2\times (e\times U_0 + (n-1)\times e \times U_c)}{m_P}}
Soit :
v_n = \sqrt{\dfrac{2\times (1{,}6 \times 10^{-19}\times 450 \times 10^3+ (15-1)\times 1{,}6 \times 10^{-19} \times \text{2 000} \times 10^3)}{1{,}6 \times 10^{-27}}}
Donc :
v_{15} = 7{,}5 \times 10^7 \text{ m/s}