Sommaire
1Rappeler les grandeurs qui peuvent être déterminées à l'aide des équations du mouvement 2En déduire l'équation à résoudre 3Résoudre l'équation 4ConclureLes équations du mouvement d'un système permettent de déterminer des grandeurs caractéristiques de son mouvement.
L'étude du mouvement d'un ballon tiré depuis une hauteur h, avec une vitesse initiale v_0 et un angle de lancée \alpha, mesuré par rapport à l'horizontale permet d'établir l'équation de trajectoire suivante :
y(x)=- \dfrac{1}{2} \dfrac{g}{(v_{0}\times \cos(\alpha))^2} \times x^2 + \tan(\alpha) \times x + h
Les paramètres de ce mouvement étant les suivants :
- vitesse initiale du ballon : v_0 = 5{,}0 \text{ m.s}^{-1} ;
- angle de tir : \alpha = 30 \text{°} ;
- hauteur initiale : h = 1{,}8 \text{ m}.
Déterminer la portée de ce tir.
Rappeler les grandeurs qui peuvent être déterminées à l'aide des équations du mouvement
On rappelle les grandeurs qui peuvent être déterminées à l'aide des équations du mouvement.
L'exploitation des équations horaires et de l'équation de la trajectoire du système permettent de déterminer des grandeurs caractéristiques de son mouvement :
- La portée correspond au point pour lequel le système touche le sol. Son abscisse x est donc la solution de l'équation y(x)=0.
- La durée du mouvement avant l'impact avec le sol est donnée par la solution de l'équation y(t)=0.
- La flèche correspond à l'altitude maximale atteinte par le système. Le point pour lequel elle est atteinte est caractérisé par une vitesse verticale nulle, soit v_y(t)=0.
En déduire l'équation à résoudre
On en déduit l'équation à résoudre.
Pour déterminer la portée de ce tir, l'équation à résoudre est donc y(x)=0.
Résoudre l'équation
On détermine la grandeur recherchée en résolvant l'équation.
Lorsque l'on résout une équation du second degré du type y(x)=ax^2 + bx + C = 0, si le discriminant \Delta=b^2-4\times a \times c est positif, alors les deux solutions de l'équation sont :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ et x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
Il faut donc résoudre l'équation suivante :
y(x)=- \dfrac{1}{2} \dfrac{g}{(v_{0}\times \cos(\alpha))^2} \times x^2 + \tan(\alpha) \times x + h=0
On a :
| a = - \dfrac{1}{2} \dfrac{g}{(v_{0}\times \cos(\alpha))^2} a = - \dfrac{1}{2} \dfrac{9{,}81}{(5{,}0\times \cos(30))^2} a = -0{,}26 \text{ m}^{-1} | b = \tan(\alpha) b = \tan(30) b = 0{,}58 | c = h c = 1{,}8 \text{ m} |
| \Delta = b^2 -4\times a \times c \Rightarrow\Delta = (0{,}58)^2 - 4 \times (-0{,}26) \times 1{,}8 \Rightarrow\Delta = 2{,}2 | ||
| Première solution : x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_1 = \dfrac{-0{,}58-\sqrt{2{,}2}}{2 \times (-0{,}26)} x_1 =4{,}0 \text{ m} | Deuxième solution : x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_1 = \dfrac{-0{,}58+\sqrt{2{,}2}}{2 \times (-0{,}26)} x_2 =-1{,}7 \text{ m} | |
De ces deux solutions, celle qui donne la portée du tir est celle qui est positive (x_1).
La solution négative (x_2) correspond au point d'intersection de la prolongation de la trajectoire du ballon avec l'axe des abscisses. Elle ne décrit pas une réalité physique (le ballon est projeté dans le sens des x positifs).
Conclure
On conclut en donnant la valeur de la grandeur recherchée.
La portée de ce tir est donc de 4,0 m.