On étudie le mouvement d'un boulet de canon de masse m dans le référentiel terrestre galiléen. On considère que ce dernier n'est soumis qu'au champ de pesanteur terrestre. Il est lancé depuis l'origine du repère avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0} formant un angle \alpha avec l'horizontale.
Quelles sont les composantes du vecteur accélération du boulet de canon ?
On étudie, dans le référentiel terrestre, un système de masse m. Il est placé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, caractérisé par le vecteur \overrightarrow{g}. Le système est soumis à son poids et on néglige toutes les autres forces, notamment celles de frottements.
La deuxième loi de Newton appliquée à cette situation donne :
\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a}
Et puisqu'ici \sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} =\overrightarrow{P}, on a :
\overrightarrow{P} = m \times \overrightarrow{a}
Or :
\overrightarrow{P} = m \times \overrightarrow{g}
Donc, on obtient :
m \times \overrightarrow{g} = m \times \overrightarrow{a}
Soit :
\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
Or, le vecteur \overrightarrow{g} n'admet de composante non nulle que sur l'axe \overrightarrow{u_y}, en effet :
\overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = - g \cr \cr g_z = 0 \end{cases}
On en déduit donc :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = - g \cr \cr a_z = 0 \end{cases}
Quelles sont les composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} du boulet de canon ?
Quelles sont les composantes du vecteur vitesse du boulet de canon ?
On intègre les composantes verticale et horizontale du vecteur accélération par rapport au temps pour obtenir la vitesse. On obtient :
\overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = K_1 \cr \cr v_{y} =-g \times t + K_2 \cr \cr v_z = K_3 \cr \end{cases}
À t = 0, on a \overrightarrow{v\left(t = 0\right)} = \overrightarrow{v_0}.
On en déduit :
\overrightarrow{v\left(t = 0 \right)} \begin{cases} K_1 = v_{0x} = v_{0} \times \cos(\alpha) \cr \cr K_2 = v_{0y}= v_{0} \times \sin(\alpha) \cr \cr K_3 =0 \cr \end{cases}
Les composantes du vecteur vitesse du boulet de canon sont donc :
\overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = v_{0} \times \cos(\alpha) \cr \cr v_{y} =-g \times t + v_{0} \times \sin(\alpha)\cr \cr v_z = 0 \cr \end{cases}
Quelles sont les composantes du vecteur position du boulet de canon ?
À t= 0 le boulet est à l'origine du repère, les composantes du vecteur position initiale du boulet de canon sont donc :
\overrightarrow{OM_0}\begin{cases} x_{0} = 0 \cr \cr y_{0} = 0 \cr \cr z_0 = 0 \end{cases}
On intègre les composantes verticale et horizontale du vecteur vitesse par rapport au temps pour obtenir la position, on obtient :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) = v_{0} \times \cos(\alpha) \times t + K_1 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + v_{0} \times \sin(\alpha) \times t + K_2 \cr \cr z(t) = K_3 \cr \end{cases}
À t = 0, on a \overrightarrow{OM\left(t = 0 \right)} = \overrightarrow{OM_0}.
On en déduit :
\overrightarrow{OM\left(t = 0\right)} \begin{cases} x(0) = K_1 = 0 \cr \cr y(0) = K_2 = 0 \cr \cr z(0) = K_3 = 0\cr \end{cases}
Les composantes du vecteur position du ballon sont donc :
\overrightarrow{OM\left(t\right)} \begin{cases} x(t) = v_{0} \times \cos(\alpha) \times t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + v_{0} \times \sin(\alpha) \times t \cr \cr z(t) = 0 \cr \end{cases}