On étudie le mouvement d'un pendule simple sans frottements, composé d'une bille de masse m=60\text{ g}.
Lorsque la bille est dans les positions A et C, sa vitesse est nulle.
Lorsque la bille est dans la position B, sa vitesse est v_B=1{,}71\text{ m.s}^{-1}.
Donnée : L'intensité de la pesanteur est g=9{,}81\text{ N.kg}^{-1}.
On s'intéresse à la position A de la bille.
Quelle est l'énergie cinétique E_c(A) de la bille à la position A ?
L'énergie cinétique est donnée par la relation :
E_c=\dfrac{1}{2}\times m \times v^2
Ici, la vitesse de la bille est nulle, on a donc :
E_c(A)=0\text{ mJ}
L'énergie cinétique de la bille à la position A est de 0 mJ.
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp}(A) de la bille à la position A ?
L'énergie potentielle de pesanteur est donnée par la relation :
E_{pp}= m \times g \times z
Ici, il faut effectuer des conversions :
- m=60\text{ g}=60.10^{-3}\text{ kg}
- z=15\text{ cm}=15.10^{-2}\text{ m}
D'où l'application numérique :
E_{pp}(A)=60.10^{-3} \times 9{,}81 \times 15.10^{-2}
E_{pp}(A)=8{,}8.10^{-2}\text{ J}
E_{pp}(A)=88\text{ mJ}
L'énergie potentielle de pesanteur de la bille à la position A est de 88 mJ.
Quelle est l'énergie mécanique E_{m}(A) de la bille à la position A ?
L'énergie mécanique est donnée par la relation :
E_{m}= E_c+E_{pp}
D'où l'application numérique :
E_{m}(A)=0 + 88
E_{m}(A)=88\text{ mJ}
L'énergie mécanique de la bille à la position A est de 88 mJ.
On s'intéresse à la position B de la bille.
Quelle est l'énergie cinétique E_c(B) de la bille à la position B ?
L'énergie cinétique est donnée par la relation :
E_c=\dfrac{1}{2}\times m \times v^2
Ici, faut convertir la masse en kilogrammes :
m=60\text{ g}=60.10^{-3}\text{ kg}
D'où l'application numérique :
E_c(B)=\dfrac{1}{2} \times 60.10^{-3} \times (1{,}71)^2
E_c(B)=8{,}8.10^{-2}\text{ J}
E_c(B)=88\text{ mJ}
L'énergie cinétique de la bille à la position B est de 88 mJ.
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp}(B) de la bille à la position B ?
L'énergie potentielle de pesanteur est donnée par la relation :
E_{pp}= m \times g \times z
Ici, la hauteur de la bille est nulle, on a donc :
E_{pp}(B)=0\text{ mJ}
L'énergie potentielle de pesanteur de la bille à la position B est de 0 mJ.
Quelle est l'énergie mécanique E_{m}(B) de la bille à la position B ?
L'énergie mécanique est donnée par la relation :
E_{m}= E_c+E_{pp}
D'où l'application numérique :
E_{m}(B)=88 + 0
E_{m}(B)=88\text{ mJ}
L'énergie mécanique de la bille à la position B est de 88 mJ.
On s'intéresse à la position C de la bille.
Quelle est l'énergie cinétique E_c(C) de la bille à la position C ?
L'énergie cinétique est donnée par la relation :
E_c=\dfrac{1}{2}\times m \times v^2
Ici, la vitesse de la bille est nulle, on a donc :
E_c(C)=0\text{ mJ}
L'énergie cinétique de la bille à la position C est de 0 mJ.
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp}(C) de la bille à la position C ?
L'énergie potentielle de pesanteur est donnée par la relation :
E_{pp}= m \times g \times z
Ici, il faut effectuer des conversions :
- m=60\text{ g}=60.10^{-3}\text{ kg}
- z=15\text{ cm}=15.10^{-2}\text{ m}
D'où l'application numérique :
E_{pp}(C)=60.10^{-3} \times 9{,}81 \times 15.10^{-2}
E_{pp}(C)=8{,}8.10^{-2}\text{ J}
E_{pp}(C)=88\text{ mJ}
L'énergie potentielle de pesanteur de la bille à la position C est de 88 mJ.
Quelle est l'énergie mécanique E_{m}(C) de la bille à la position C ?
L'énergie mécanique est donnée par la relation :
E_{m}= E_c+E_{pp}
D'où l'application numérique :
E_{m}(C)=0{,}0 + 8{,}8
E_{m}(C)=8{,}8\text{ J}
L'énergie mécanique de la bille à la position C est de 88 mJ.
Quelle figure représente l'évolution des énergies de la bille lors d'une oscillation entre A et C ?
En combinant les résultats aux questions précédentes, on peut déterminer par lecture graphique la figure correspondante.
La figure correspondante est la suivante :
Parmi les propositions suivantes, quelle affirmation est correcte par rapport à la situation donnée ?
D'après les questions précédentes, on sait que l'énergie mécanique de la bille se conserve. D'après le théorème de l'énergie mécanique, la bille est soumise uniquement à des forces conservatives, en l'occurrence son poids. On peut donc en déduire que les frottements sont négligeables.
Dans cette situation, puisque l'énergie mécanique de la bille se conserve, on en déduit qu'elle subit uniquement une force conservative, en l'occurrence son poids, et que les frottements sont négligeables.
Quelle est la vitesse de la bille au point D d'altitude z_D=8{,}5\text{ cm} ?
Étant donné que l'énergie mécanique de la bille se conserve, on a pour chaque point l'égalité suivante :
E_m=E_c+E_{pp}=E_{m (A)}=88\text{ mJ}
D'où pour le point D :
E_{c (D)}+E_{pp (C)} = E_{m (A)}
L'énergie cinétique au point D est donc déterminée par la relation suivante :
E_{c (D)} = E_{m (A)} - E_{pp (C)}
L'énergie potentielle de pesanteur au niveau du point D est donnée par la relation :
E_{pp(D)}= m \times g \times z_D
Ici, il faut convertir la masse en kilogrammes :
m=60\text{ g}=60.10^{-3}\text{ kg}
Ici, il faut convertir la hauteur en mètres :
z_D=8{,}5\text{ cm}=8{,}5.10^{-2}\text{ m}
D'où l'application numérique :
E_{pp(D)}=60.10^{-3} \times 9{,}81 \times 8{,}5.10^{-2}
E_{pp(D)}=50\text{ mJ}
D'où :
E_{c (D)} = 88 - 50
E_{c (D)} = 38\text{ mJ}
E_{c (D)} = 38.10^{-3}\text{ J}
Or, l'énergie cinétique au niveau du point D est donnée par la relation :
E_{C(D)}=\dfrac{1}{2}\times m \times v_{(D)}^2
On peut exprimer la vitesse :
v_{(D)}=\sqrt{\dfrac{2 \times E_{C(D)}}{m}}
D'où l'application numérique :
v_{(D)}=\sqrt{\dfrac{2 \times (38.10^{-3})}{60.10^{-3}}}
v_{(D)}=1{,}1\text{ m.s}^{-1}
La vitesse de la bille au niveau du point D est de 1{,}1\text{ m.s}^{-1}.