Les composantes du vecteur vitesse d'un système se déduisent de celles du vecteur accélération par intégration.
On considère le mouvement d'un projectile lancé dans le champ de pesanteur terrestre avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0}, conformément à la figure ci-dessous :
Dans cette situation, les composantes du vecteur accélération du projectiles sont :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y =-g \end{cases}
En déduire les composantes du vecteur vitesse de ce projectile.
Connaître les différentes primitives
Les composantes du vecteur vitesse étant les primitives de celles du vecteur accélération, il faut connaître les expressions des primitives possibles.
- Si la composante de l'accélération est nulle, sa primitive est une constante K.
- Si la composante de l'accélération est une constante K_1, sa primitive est K_1 \times t + K_2.
Les constantes K et K_2 dépendent des composantes du vecteur vitesse initiale.
En déduire les expressions des composantes du vecteur vitesse
On déduit les expressions des composantes du vecteur vitesse en écrivant les primitives des composantes du vecteur accélération.
Puisque les composantes du vecteur accélération du projectiles sont :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y =-g \end{cases}
Les expressions des composantes du vecteur vitesse de ce projectile sont :
\overrightarrow{v} \begin{cases} v_x = K \cr \cr v_y =-g \times t + K_2\end{cases}
Étant donné que les constantes K et K_2 dépendent des composantes du vecteur vitesse initiale, on peut les identifier, selon les axes du repère concerné :
\begin{cases} K=v_{0x} \cr \cr K_2=v_{0y}\end{cases}
Identifier les constantes présentes dans les primitives
On identifie les constantes présentes dans les primitives en déterminant, à l'aide de l'énoncé ou d'une figure, les composantes du vecteur vitesse initiale.
D'après la figure donnée, les composantes du vecteur vitesse initiale du projectile sont les suivantes :
\overrightarrow{v_0} \begin{cases} v_{0x} = v_0 \cr \cr v_{0y}=0 \end{cases}
On a donc :
\begin{cases} K=v_{0} \cr \cr K_2=0\end{cases}
Conclure en donnant les expressions des composantes du vecteur vitesse
On conclut : en remplaçant les constantes des primitives par les composantes du vecteur vitesse initiale, on obtient les expressions des composantes du vecteur vitesse.
Puisque les composantes du vecteur vitesse sont :
\overrightarrow{v} \begin{cases} v_x = K \cr \cr v_y =-g \times t + K_2\end{cases}
Et les expressions des constantes sont :
\begin{cases} K=v_{0x} \cr \cr K_2=0\end{cases}
On obtient :
\overrightarrow{v} \begin{cases} v_x = v_{0x} \cr \cr v_y =-g \times t \end{cases}