On étudie le mouvement d'un ballon de masse m lancé depuis la hauteur h avec une vitesse initiale horizontale \overrightarrow{v_0}, comme le montre la figure suivante :
Le mouvement a lieu dans un champ de gravitation uniforme \overrightarrow{g} et les frottements sont négligeables.
Quelles sont alors les équations horaires de ce mouvement ?
La deuxième loi de Newton appliquée au ballon de masse m donne s'écrit :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}
Les frottements étant négligés, la seule force qui s'exerce sur le système est son poids, on a donc :
\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a}, d'où : m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a} et finalement : \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
Dans le repère considéré, les composantes du vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} sont les suivantes :
\overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = - g \end{cases}
Les composantes du vecteur accélération sont donc les mêmes :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = - g \end{cases}
On obtient les composantes du vecteur vitesse du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur accélération, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur vitesse initiale (v_{0x} et v_{0y}) :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) = v_{0x} \cr \cr v_{y}(t) = -g. t+v_{0y} \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, les composantes du vecteur vitesse initiale sont les suivantes :
\overrightarrow{v_0}\begin{cases} v_{0x} = v_0 \cr \cr v_{0y} = 0 \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur vitesse du système :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) =v_0\cr \cr v_{y}(t) = -g . t \end{cases}
Ensuite, on obtient les composantes du vecteur position du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur vitesse, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur position initiale (x_0 et y_0) :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.t + x_0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + y_0 \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, les composantes du vecteur position initiale sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_0}\begin{cases} x_0 = 0 \cr \cr y_0 =h \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur position du ballon :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}gt^2 + h \end{cases}
Les équations horaires de ce mouvement sont :
\begin{cases} x(t) =0 \cr \cr y(t) = -\dfrac{1}{2}gt^2 + h \end{cases}
On étudie le mouvement d'un parachutiste de masse m en chute libre lâché dans un champ de gravitation uniforme \overrightarrow{g}.
Dans le repère considéré, la position initiale du parachutiste par rapport à l'origine est d et sa vitesse initiale \overrightarrow{v_0} est verticale et orientée vers le bas, comme le montre la figure suivante :
Quelles sont les équations horaires de ce mouvement ?
La deuxième loi de Newton appliquée au parachutiste de masse m donne s'écrit :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}
Le parachutiste étant en chute libre, la seule force qui s'exerce sur le système est son poids, on a donc :
\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a}, d'où : m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a} et finalement : \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
Dans le repère considéré, les composantes du vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} sont les suivantes :
\overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = g \end{cases}
Les composantes du vecteur accélération sont donc les mêmes :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = g \end{cases}
On obtient les composantes du vecteur vitesse du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur accélération, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur vitesse initiale (v_{0x} et v_{0y}) :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) = v_{0x} \cr \cr v_{y}(t) = g.t+v_{0y} \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, le vecteur vitesse initiale est égal au vecteur nul car le système est lâché sans vitesse initiale :
\overrightarrow{v_0}\begin{cases} v_{0x} = 0 \cr \cr v_{0y} = v_0 \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur vitesse du système :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) =0\cr \cr v_{y}(t) = g.t + v_0 \end{cases}
Ensuite, on obtient les composantes du vecteur position du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur vitesse, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur position initiale (x_0 et y_0) :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = x_0 \cr \cr y(t) =\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.t+ y_0 \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, les composantes du vecteur position initiale sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_0}\begin{cases} x_0 = d \cr \cr y_0 =0 \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur position du parachutiste :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = d \cr \cr y(t) =\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.t \end{cases}
Les équations horaires de ce mouvement sont :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = d \cr \cr y(t) =\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.t \end{cases}
On étudie le mouvement d'un parachutiste de masse m en chute libre lâché dans un champ de gravitation uniforme \overrightarrow{g}.
Dans le repère considéré, la vitesse initiale \overrightarrow{v_0} du parachutiste est verticale et orientée vers le bas, comme le montre la figure suivante :
Quelles sont les équations horaires de ce mouvement ?
La deuxième loi de Newton appliquée au parachutiste de masse m donne s'écrit :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}
Le parachutiste étant en chute libre, la seule force qui s'exerce sur le système est son poids, on a donc :
\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a}, d'où : m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a} et finalement : \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
Dans le repère considéré, les composantes du vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} sont les suivantes :
\overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = -g \end{cases}
Les composantes du vecteur accélération sont donc les mêmes :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = -g \end{cases}
On obtient les composantes du vecteur vitesse du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur accélération, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur vitesse initiale (v_{0x} et v_{0y}) :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) = v_{0x} \cr \cr v_{y}(t) = g.t+v_{0y} \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, le vecteur vitesse initiale est égal au vecteur nul car le système est lâché sans vitesse initiale :
\overrightarrow{v_0}\begin{cases} v_{0x} = 0 \cr \cr v_{0y} = -v_0 \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur vitesse du système :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) =0\cr \cr v_{y}(t) = -g.t - v_0 \end{cases}
Ensuite, on obtient les composantes du vecteur position du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur vitesse, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur position initiale (x_0 et y_0) :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = x_0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 -v_0.t+y_0 \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, les composantes du vecteur position initiale sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_0}\begin{cases} x_0 = 0 \cr \cr y_0 =0 \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur position du parachutiste :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = 0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 -v_0.t \end{cases}
Les équations horaires de ce mouvement sont :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = 0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 -v_0.t \end{cases}
On étudie le mouvement d'un ballon de masse m lancé avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0}, comme le montre la figure suivante :
Le mouvement a lieu dans un champ de gravitation uniforme \overrightarrow{g} et les frottements sont négligeables.
Quelles sont alors les équations horaires de ce mouvement ?
La deuxième loi de Newton appliquée au ballon de masse m donne s'écrit :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}
Les frottements étant négligés, la seule force qui s'exerce sur le ballon est son poids, on a donc :
\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a}, d'où : m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a} et finalement : \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
Dans le repère considéré, les composantes du vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} sont les suivantes :
\overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = -g \end{cases}
Les composantes du vecteur accélération sont donc les mêmes :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = -g \end{cases}
On obtient les composantes du vecteur vitesse du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur accélération, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur vitesse initiale (v_{0x} et v_{0y}) :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) = v_{0x} \cr \cr v_{y}(t) = g.t+v_{0y} \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, le vecteur vitesse initiale est égal au vecteur nul car le système est lâché sans vitesse initiale :
\overrightarrow{v_0}\begin{cases} v_{0x} = v_0.\cos(\alpha) \cr \cr v_{0y} = v_0.\sin(\alpha) \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur vitesse du ballon :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) =v_0.\cos(\alpha)\cr \cr v_{y}(t) = -g.t + v_0.\sin(\alpha) \end{cases}
Ensuite, on obtient les composantes du vecteur position du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur vitesse, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur position initiale (x_0 et y_0) :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t + x_0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t+y_0 \end{cases}\\
Dans cette situation et avec le repère considéré, les composantes du vecteur position initiale sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_0}\begin{cases} x_0 = 0 \cr \cr y_0 =0 \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur position du parachutiste :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t \end{cases}\\
Les équations horaires de ce mouvement sont :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t \end{cases}\\
On étudie le mouvement d'un ballon de masse m lancé avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0} depuis une hauteur h comme le montre la figure suivante :
Le mouvement a lieu dans un champ de gravitation uniforme \overrightarrow{g} et les frottements sont négligeables.
Quelles sont alors les équations horaires de ce mouvement ?
La deuxième loi de Newton appliquée au ballon de masse m donne s'écrit :
\sum_{}^{}\overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}
Les frottements étant négligés, la seule force qui s'exerce sur le ballon est son poids, on a donc :
\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{a}, d'où : m\overrightarrow{g} = m\overrightarrow{a} et finalement : \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
Dans le repère considéré, les composantes du vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} sont les suivantes :
\overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = -g \end{cases}
Les composantes du vecteur accélération sont donc les mêmes :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = -g \end{cases}
On obtient les composantes du vecteur vitesse du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur accélération, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur vitesse initiale (v_{0x} et v_{0y}) :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) = v_{0x} \cr \cr v_{y}(t) = g.t+v_{0y} \end{cases}
Dans cette situation et avec le repère considéré, le vecteur vitesse initiale est égal au vecteur nul car le système est lâché sans vitesse initiale :
\overrightarrow{v_0}\begin{cases} v_{0x} = v_0.\cos(\alpha) \cr \cr v_{0y} = v_0.\sin(\alpha) \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur vitesse du ballon :
\overrightarrow{v}\begin{cases} v_{x}(t) =v_0.\cos(\alpha)\cr \cr v_{y}(t) = -g.t + v_0.\sin(\alpha) \end{cases}
Ensuite, on obtient les composantes du vecteur position du système en intégrant, par rapport au temps, celles du vecteur vitesse, les constantes d'intégration étant égales aux composantes du vecteur position initiale (x_0 et y_0) :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t + x_0 \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t+y_0 \end{cases}\\
Dans cette situation et avec le repère considéré, les composantes du vecteur position initiale sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_0}\begin{cases} x_0 = 0 \cr \cr y_0 =h \end{cases}
D'où l'écriture finale du vecteur position du parachutiste :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t +h \end{cases}\\
Les équations horaires de ce mouvement sont :
\overrightarrow{OM}\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t \cr \cr y(t) =-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t +h \end{cases}\\