Établir l’équation de la trajectoire de la trajectoire d'une particule chargée dans un condensateur plan Exercice

Les équations horaires indiquent que :
x(t)=v_0 \times t
et
y(t)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times t^2

Soit :
t=\dfrac{x}{v_0}

Donc en substituant t par son expression dans l'équation donnant y(t) :
y(x)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times (\dfrac{x}{v_0})^2
y(x)=\dfrac{q\times E}{2\times m \times v_0^2} \times x^2

Les équations horaires indiquent que :
x(t)=v_0 \times t
et
y(t)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times t^2

Soit :
t=\dfrac{x}{v_0}

Donc en substituant t par son expression dans l'équation donnant y(t) :
y(x)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times (\dfrac{x}{v_0})^2
y(x)=\dfrac{q\times E}{2\times m \times v_0^2} \times x^2

Si la particule est un électron, q=-e avec e la charge élémentaire.

On obtient donc :
y(x)=\dfrac{-e\times E}{2\times m \times v_0^2} \times x^2

Les équations horaires indiquent que :
x(t)=v_0 \times t
et
y(t)= -\dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times t^2

Soit :
t=\dfrac{x}{v_0}

Donc en substituant t par son expression dans l'équation donnant y(t) :
y(x)= -\dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times (\dfrac{x}{v_0})^2
y(x)=-\dfrac{q\times E}{2\times m \times v_0^2} \times x^2

Si la particule est un noyau d'hydrogène, comme Z(H)=1, il y a un proton dans le noyau.

Donc q=e avec e la charge élémentaire.

On obtient donc :
y(x)=\dfrac{-e\times E}{2\times m_p \times v_0^2} \times x^2
y(x)=\dfrac{-1{,}6.10^{-19}\times 4{,}0}{2\times1{,}7.10^{-27} \times (20)^2} \times x^2
y(x)=-4{,}7.10^{-5} \times x^2

Les équations horaires indiquent que :
x(t)=v_0 \times t
et
y(t)= -\dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times t^2

Soit :
t=\dfrac{x}{v_0}

Donc en substituant t par son expression dans l'équation donnant y(t) :
y(x)= -\dfrac{1}{2}\times \dfrac{q\times E}{m} \times (\dfrac{x}{v_0})^2
y(x)=-\dfrac{q\times E}{2\times m \times v_0^2} \times x^2

Avec la formule de l'ion \ce{Cu^{2+}}, on en déduit que :
q=2\times e avec e la charge élémentaire

On obtient donc :
y(x)=\dfrac{-2\times e\times E}{2\times m(Cu) \times v_0^2} \times x^2
y(x)=\dfrac{-2 \times 1{,}6.10^{-19}\times 3{,}0 .10^3}{2\times1{,}1.10^{-25} \times (100)^2} \times x^2
y(x)=-4{,}4.10^{5} \times x^2

Les équations horaires indiquent que :
x(t)=v_0 \times \cos\left(\alpha\right) \times t
et
y(t)=v_0 \times \sin\left(\alpha\right) \times t +\dfrac{q\times E}{2\times m} \times t^2

Soit :
t=\dfrac{x}{v_0 \times \cos\left(\alpha\right)}

Donc en substituant t par son expression dans l'équation donnant y(t) :
y(x)=v_0 \times \sin\left(\alpha\right) \times (\dfrac{x}{v_0 \times \cos\left(\alpha\right)}) +\dfrac{q\times E}{2\times m} \times (\dfrac{x}{v_0 \times \cos\left(\alpha\right)})^2
y(x)=\tan\left(\alpha\right) \times x+\dfrac{q\times E}{2\times m} \times \dfrac{x^2}{(v_0 \times \cos\left(\alpha\right))^2}

Avec la formule de l'ion \ce{SO4^{2-}}, on en déduit que :
q=-2\times e avec e la charge élémentaire

On convertit aussi les valeurs qui ne sont pas dans le bon système international dans l'énoncé :
E=9{,}5\ \text{kV.m}^{-1} = 9{,}5.10^3\ \text{V.m}^{-1}
v_0=300\ \text{km.h}^{-1}=\dfrac{300}{3{,}6}\ \text{m.s}^{-1}

On obtient donc :
y(x)=\tan\left(\alpha\right) \times x+\dfrac{-2 \times e\times E}{2\times m} \times \dfrac{x^2}{(v_0 \times \cos\left(\alpha\right))^2}
y(x)=\tan\left(20\right) \times x+\dfrac{-2 \times 1{,}6.10^{-19}\times 9{,}5.10^3}{2\times 1{,}6.10^{-25}} \times \dfrac{x^2}{\left(\dfrac{300}{3{,}6} \times \cos\left(20\right)\right)^2}
y(x)=\tan\left(20\right) \times x-1{,}5.10^6 \times x^2