Etude d'un cas concret à l'aide d'une suite Exercice type bac

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Dernière modification : 01/10/2020 - Conforme au programme 2019-2020

Dans un pays de population constante égale à 70 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

en 2010, la population compte 40 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
chaque année, 8 % des ruraux émigrent à la ville ;
chaque année, 4 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel n, on note :

u_n la population en zone rurale, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants ;
v_n la population en ville, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants.

On a donc u_0 = 40 et v_0 = 30.

Quelle relation lie u_n et v_n ?

u_n - v_n = 70

u_n + v_n = 70

u_n + v_n = 30

u_n + v_n = 40

On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites (u_n) et (v_n).

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous ?

	A	B	C
1	n	Population en zone rurale	Population en ville
2	0	40	30
3	1	38	32
4	2	36,24	33,76
5	3	34,691	35,309
6	4	33,328	36,672
7	5	32,129	37,871
8	6	31,074	38,926
9	7	30,145	39,855
10	8	29,328	40,672
11	9	28,609	41,391
12	10	27,976	42,024
13	11	27,419	42,581
14	12	26,929	43,071
15	13	26,498	43,502
16	14	26,118	43,882
17	15	25,784	44,216
18	16	25,49	44,51
19	17	25,231	44,769
20	18	25,003	44,997
21	19	24,803	45,197
22	20	24,627	45,373
	...	...	...
59	57	23,344	46,656
60	58	23,343	46,657
61	59	23,342	46,658
62	60	23,341	46,659
63	61	23,34	46,66

Dans B3 on entre la formule =0,96*B2+0,08*C2.

Dans C3 on entre la formule =0,04*B2+0,92*C2.

Dans B3 on entre la formule =0,08*B2+0,04*C2.

Dans C3 on entre la formule =0,92*B2+0,96*C2.

Dans B3 on entre la formule =0,92*B2+0,04*C2.

Dans C3 on entre la formule =0,08*B2+0,96*C2.

Dans B3 on entre la formule =0,08*B2+0,96*C2.

Dans C3 on entre la formule =0,92*B2+0,04*C2.

Que peut-on penser de l'évolution à long terme de cette population ?

D'après les données du tableur, la suite \left(u_n\right) (donc le nombre de ruraux) semble décroître et tendre vers 23 millions, et la suite \left(v_n\right) (donc le nombre de citadins) semble croître et tendre vers 47 millions.

D'après les données du tableur, la suite \left(u_n\right) (donc le nombre de ruraux) semble décroître et tendre vers \dfrac{70}{3} millions, et la suite \left(v_n\right) (donc le nombre de citadins) semble croître et tendre vers \dfrac{140}{3} millions.

D'après les données du tableur, la suite \left(u_n\right) (donc le nombre de ruraux) semble décroître et tendre vers 23,3 millions, et la suite \left(v_n\right) (donc le nombre de citadins) semble croître et tendre vers 46,7 millions.

D'après les données du tableur, la suite \left(u_n\right) (donc le nombre de ruraux) semble croître et tendre vers \dfrac{70}{3} millions, et la suite \left(v_n\right) (donc le nombre de citadins) semble décroître et tendre vers \dfrac{140}{3} millions.

On admet dans cette partie que pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}88u_n+2{,}8.

Quel est le sens de variation de la suite \left(u_n\right) ?

La suite (u_n) est constante.

La suite (u_n) est décroissante.

La suite (u_n) est croissante.

La suite (u_n) n'est pas monotone.

On admet que pour tout entier naturel n, u_n\geq 0.

Que peut-on dire de la suite \left(u_n\right) ?

La suite \left(u_n\right) est convergente.

On ne peut rien dire.

La suite \left(u_n\right) est divergente car elle n'a pas de limite finie.

La suite \left(u_n\right) est divergente car elle n'a pas de limite.

On considère la suite \left(w_n\right) définie sur \mathbb{N} par :

w_n=u_n-\dfrac{70}{3}

Quelle est la nature de la suite \left(w_n\right) ?

La suite \left(w_n\right) est géométrique de raison 0,88 avec w_0 = 35{,}2.

La suite \left(w_n\right) est géométrique de raison 0,88 avec w_0 = 38.

La suite \left(w_n\right) est géométrique de raison 0,88 avec w_0 = \dfrac{50}{3}.

La suite \left(w_n\right) est géométrique de raison 0,88 avec w_0 = 40.

Quelles sont les expressions de w_n et de u_n en fonction de n ?

w_n = \dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n} et u_n = \dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n} -\dfrac{70}{3}

w_n = 40\times0{,}88^{n} -\dfrac{70}{3} et u_n = 40\times0{,}88^{n}

w_n = \dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n} et u_n = \dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n} +\dfrac{70}{3}

Quelle est l'expression de v_n en fonction de n ?

v_n = \dfrac{140}{3}\times0{,}88^{n} -\dfrac{50}{3}

v_n = \dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n} - 70

v_n = \dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n} -\dfrac{140}{3}

v_n = \dfrac{140}{3}-\dfrac{50}{3}\times0{,}88^{n}

On considère l'algorithme suivant :

Que fait cet algorithme ?

L'algorithme affiche la plus petite valeur n pour laquelle le nombre de ruraux est devenu supérieur au nombre de citadins.

L'algorithme affiche le nombre de ruraux quand le nombre de ruraux est devenu supérieur au nombre de citadins.

L'algorithme affiche la plus petite valeur n pour laquelle le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins.

L'algorithme affiche le nombre de ruraux quand le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins.

Quelle valeur affiche-t-il ?