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Etude d'un cas concret à l'aide d'une suite Exercice type bac

Dans un pays de population constante égale à 70 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte 40 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
  • chaque année, 8 % des ruraux émigrent à la ville ;
  • chaque année, 4 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel n, on note :

  • u_n la population en zone rurale, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants ;
  • v_n la population en ville, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants.

On a donc u_0 = 40 et v_0 = 30.

Quelle relation lie u_n et v_n ?

On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites (u_n) et (v_n).

Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous ?

A B C

1

 n Population en zone rurale Population en ville
2 0 40 30
3 1 38 32
4 2 36,24 33,76
5 3 34,691 35,309
6 4 33,328 36,672
7 5 32,129 37,871
8 6 31,074 38,926
9 7 30,145 39,855
10 8 29,328 40,672
11 9 28,609 41,391
12 10 27,976 42,024
13 11 27,419 42,581
14 12 26,929 43,071
15 13 26,498 43,502
16 14 26,118 43,882
17 15 25,784 44,216
18 16 25,49 44,51
19 17 25,231 44,769
20 18 25,003 44,997
21 19 24,803 45,197
22 20 24,627 45,373
... ... ...
59 57 23,344 46,656
60 58 23,343 46,657
61 59 23,342 46,658
62 60 23,341 46,659
63 61 23,34 46,66

Que peut-on penser de l'évolution à long terme de cette population ?

On admet dans cette partie que pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}88u_n+2{,}8.

a

Quel est le sens de variation de la suite \left(u_n\right) ?

b

On admet que pour tout entier naturel n, u_n\geq 0.

Que peut-on dire de la suite \left(u_n\right) ?

On considère la suite \left(w_n\right) définie sur \mathbb{N} par :

w_n=u_n-\dfrac{70}{3}

a

Quelle est la nature de la suite \left(w_n\right) ?

b

Quelles sont les expressions de w_n et de u_n en fonction de n ?

c

Quelle est l'expression de v_n en fonction de n ?

On considère l'algorithme suivant :

-
a

Que fait cet algorithme ?

b

Quelle valeur affiche-t-il ?

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