Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :
- en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
- chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
- chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.
Pour tout entier naturel n, on note :
- u_n la population en zone rurale, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants ;
- v_n la population en ville, en l'année 2\ 010 + n, exprimée en millions d'habitants.
On a donc u_0 = 90 et v_0 = 30.
Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant u_n et v_n.
La population totale est constante et égale à 120 millions donc, pour tout entier naturel n, on peut dire que u_n + v_n = 120.
On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites (u_n) et (v_n).
Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | n | Population en zone rurale | Population en ville |
| 2 | 0 | 90 | 30 |
| 3 | 1 | 82,5 | 37,5 |
| 4 | 2 | 76,125 | 43,875 |
| 5 | 3 | 70,706 | 49,294 |
| 6 | 4 | 66,100 | 53,900 |
| 7 | 5 | 62,185 | 57,815 |
| 8 | 6 | 58,857 | 61,143 |
| 9 | 7 | 56,029 | 63,971 |
| 10 | 8 | 53,625 | 66,375 |
| 11 | 9 | 51,581 | 68,419 |
| 12 | 10 | 49,844 | 70,156 |
| 13 | 11 | 48,367 | 71,633 |
| 14 | 12 | 47,112 | 72,888 |
| 15 | 13 | 46,045 | 73,955 |
| 16 | 14 | 45,138 | 74,862 |
| 17 | 15 | 44,368 | 75,632 |
| 18 | 16 | 43,713 | 76,287 |
| 19 | 17 | 43,156 | 76,844 |
| 20 | 18 | 42,682 | 77,318 |
| 21 | 19 | 42,280 | 77,720 |
| 22 | 20 | 41,938 | 78,062 |
| ... | ... | ... | |
| 59 | 57 | 40,005 | 79,995 |
| 60 | 58 | 40,004 | 79,996 |
| 61 | 59 | 40,003 | 79,997 |
| 62 | 60 | 40,003 | 79,997 |
| 63 | 61 | 40,002 | 79,998 |
On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right).
Dans B3 on entre la formule =0,9*B2+0,05*C2.
Dans C3 on entre la formule =0,1*B2+0,95*C2.
Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ?
D'après les données du tableur, le nombre de ruraux semble décroître et tendre vers 40 millions, et le nombre de citadins semble croître et tendre vers 80 millions.
On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0, 85u_n + 6.
On considère u_n.
Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
Pour tout entier naturel n, notons \mathcal{P}_n la proposition : " u_n \gt u_{n+1} ".
Montrons, par récurrence sur n, que \mathcal{P}_n est vraie quelque soit n\in\mathbb{N}.
Initialisation
u_0 = 90 et u_1 = 0{,}85u_0 = 0{,}85×90 + 6 = 82{,}5 donc u_0 \gt u_1.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Soit p un entier naturel quelconque.
On suppose que \mathcal{P}_p est vraie, c'est-à-dire u_p \gt u_{p+1}.
On cherche à montrer qu'alors \mathcal{P}_{p+1} est vraie, c'est-à-dire u_{p+1}>u_{p+2}.
Par hypothèse de récurrence, on a : u_p \gt u_{p+1}
ce qui équivaut à 0{,}85u_p \gt 0{,}85u_{p+1} ou 0{,}85u_p + 6 \gt 0{,}85u_{p+1} + 6 soit up+1 > up+2.
Donc la propriété est vraie au rang p+1.
\mathcal{P_n} est donc héréditaire à partir du rang 0.
Conclusion
\mathcal{P_n} est donc initialisée au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0.
Elle est vraie pour tout entier naturel n.
Pour tout n, u_n \gt u_{n+1} donc la suite (u_n) est décroissante.
On admet que u_n est positif pour tout entier naturel n.
Que peut-on en déduire quant à la suite (u_n) ?
On admet que u_n est positif pour tout entier naturel n, donc la suite (u_n) est minorée par 0.
On a vu que la suite était décroissante.
Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite (u_n) est convergente.
On considère la suite (w_n), définie par : w_n = u_n - 40, pour tout n \geqslant 0.
Quelle est la nature de la suite (w_n) ?
On considère la suite (w_n), définie par : w_n = u_n - 40, pour tout n\geqslant 0, donc u_n = w_n + 40.
Pour tout entier naturel n,
w_{n+1} = u_{n+1} - 40 = 0{,}85u_n + 6 - 40 = 0{,}85\left(w_n + 40\right) - 34 = 0{,}85w_n + 34 - 34 = 0{,}85w_n
On a : w_0 = u_0 - 40 = 90 - 40 = 50.
Donc la suite (w_n) est géométrique de raison q = 0{,}85 et de premier terme w_0 = 50.
En déduire l'expression de w_n puis de u_n en fonction de n.
D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout n : w_n = w_0×q^n = 50×0{,}85^n.
Comme pour tout n, u_n = w_n + 40.
On peut dire que u_n = 50×0{,}85^n + 40.
Déterminer l'expression de v_n en fonction de n.
Pour tout entier naturel n, on a : u_n + v_n = 120 et u_n = 50 \times 0{,}85^n + 40.
Donc v_n = 120 - u_n = 80 - 50\times 0{,}85^n.
Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3) de la partie A.
Pour tout entier naturel n, w_n = 50×0{,}85^n donc w_n \gt 0 et w_{n+1} = 0{,}85w_n \lt w_n et donc la suite (w_n) est décroissante.
Comme pour tout n, u_n = w_n + 40, la suite (u_n) est décroissante.
(w_n) est géométrique de raison 0,85.
Or -1 \lt 0{,}85 \lt 1 donc la suite (w_n) converge vers 0.
Comme pour tout n, u_n = w_n + 40, la suite (u_n) converge bien vers 40.
Pour tout entier naturel n, v_n = 120 - u_n et la suite (u_n) est décroissante, donc la suite (v_n) est bien croissante.
La suite (u_n) est convergente vers 40 et, pour tout n, v_n = 120 - u_n, donc la suite (v_n) est convergente vers : 120 - 40 = 80.
Pour tout n, v_n = 120 - u_n, donc la suite (v_n) est convergente vers : 120 - 40 = 80.
On considère l'algorithme suivant :
Que fait cet algorithme ?
Dans cet algorithme, la variable u, initialisée à 90, représente le terme u_n, et 120 - u représente donc v_n.
On sort de la boucle "Tant que" dès que :
u \lt 120 - u c'est-à-dire dès que u_n \lt v_n.
L'algorithme affiche donc la plus petite valeur n pour laquelle u_n \lt v_n.
C'est la plus petite valeur de n pour laquelle le nombre de ruraux est devenu inférieur au nombre de citadins.
Quelle valeur affiche-t-il ?
D'après le tableur, u_5 \gt v_5 et u_6 \lt v_6 donc la valeur affichée sera 6.