Un volume constant de 2200 m3 d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
- au départ, le bassin A contient 800 m3 d'eau et le bassin B contient 1400 m3 d'eau ;
- tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
- tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
- a_n le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
- b_n le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc a_0 = 800 et b_0 = 1\ 400.
Par quelle relation entre a_n et b_n traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
"Un volume constant de 2200 m3 d'eau est réparti entre deux bassins A et B."
Donc, pour tout entier naturel n, on a : a_n + b_n = 2\ 200.
Soit n un entier naturel quelconque.
Quelle relation relie a_{n+1} et a_n ?
Soit n un entier naturel.
Au début du n+1 -ième jour, le bassin A contient a_n m3 d'eau.
Au cours de la journée, on ajoute 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B soit 0{,}15b_n et on enlève 10 % du volume présent dans A au début de la journée soit 0{,}1a_n.
On a donc :
a_{n+1} = a_n + 0{,}15b_n - 0{,}1a_n = a_n + 0{,}15\left(2\ 200 - a_n\right) - 0{,}1a_n
a_{n+1} = 0{,}75a_n + 330 = \dfrac{3}{4}a_{n} + 330
On a bien, pour tout entier naturel n, a_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + 330.
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle a_n est supérieur ou égal à 1100.
Quelles sont les lignes incomplètes de cet algorithme ?
Affecter à a la valeur \dfrac{3}{4}a+300.
Affecter à n la valeur n + 1.
APMEP
Pour tout entier naturel n, on note u_n = a_n - 1\ 320.
Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Préciser les éléments caractéristiques.
Pour tout entier naturel n, on a u_{n+1} = a_{n+1} - 1\ 320.
Donc u_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + 330 - 1\ 320 = \dfrac{3}{4}a_{n} - 990 = \dfrac{3}{4}\left( a_{n}-1\ 320 \right) = \dfrac{3}{4}u_{n}
On reconnaît la définition d'une suite géométrique de raison \dfrac{3}{4}.
Son premier terme est u_0 = a_0 - 1\ 320 = 800 - 1\ 320 = -520.
(u_n) est suite géométrique de raison q=\dfrac{3}{4} avec u_0 = -520.
Quelle est l'expression de u_n et a_n en fonction de n ?
On a donc, pour tout entier naturel n :
u_n = u_0q^n = -520\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^{n}.
Mais, par définition de u_n, on a u_n = a_n - 1\ 320 soit a_n = u_n + 1\ 320 donc :
a_n = 1\ 320-520\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^{n}.
On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au m3 près, le même volume d'eau.
La résolution de quelle équation permet de répondre à ce questionnement ?
À quel moment cela arrive-t-il ?
On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au m3 près, le même volume d'eau.
Si ce jour arrive, on aura a_n = b_n = 2\ 200÷2 = 1\ 100.
Il faut donc résoudre l'équation a_n = 1\ 320-520\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^{n} = 1100 d'inconnue n.
Pour tout entier naturel n,
1\ 320-520\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^{n} = 1100 ⇔ 520\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^{n} = 220 ⇔ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{n}=\dfrac{11}{26}
\Leftrightarrow n\ln\left( \dfrac{3}{4} \right)=\ln\left( \dfrac{11}{26} \right).
Finalement n=\dfrac{\ln\left( \dfrac{11}{26} \right)}{\ln\left( \dfrac{3}{4} \right)}
Soit n ≈ 2{,}99.
Vers la fin du troisième jour, les deux bassins auront donc le même volume d'eau, à 1 m3 près.