Un volume constant de 2200 m3 d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
- au départ, le bassin A contient 800 m3 d'eau et le bassin B contient 1400 m3 d'eau ;
- tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
- tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
- a_n le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
- b_n le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc a_0 = 800 et b_0 = 1\ 400.
Par quelle relation entre a_n et b_n traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
Soit n un entier naturel quelconque.
Quelle relation relie a_{n+1} et a_n ?
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle a_n est supérieur ou égal à 1100.
Quelles sont les lignes incomplètes de cet algorithme ?
Pour tout entier naturel n, on note u_n = a_n - 1\ 320.
Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Préciser les éléments caractéristiques.
Quelle est l'expression de u_n et a_n en fonction de n ?
On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au m3 près, le même volume d'eau.
La résolution de quelle équation permet de répondre à ce questionnement ?
À quel moment cela arrive-t-il ?