Un volume constant de 2000 m3 d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
- au départ, le bassin A contient 700 m3 d'eau et le bassin B contient 1300 m3 d'eau ;
- tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
- tous les jours, 8 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel n, on note :
- a_n le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
- b_n le volume d'eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc a_0 = 700 et b_0 = 1\ 300.
Par quelle relation entre a_n et b_n traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
Soit n un entier naturel quelconque. Quelle est l'expression de a_{n+1} en fonction de a_n ?
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle a_n est supérieur ou égal à 1000.
Quelles sont les deux parties manquantes de cet algorithme ?
Pour tout entier naturel n, on note :
u_n=a_n-\dfrac{10\, 000}{9}
Quelle est la nature de la suite \left(u_n\right) ?
Quelle est l'expression de a_n en fonction de n ?
Existe-t-il un jour où les deux bassins peuvent avoir, au m3 près, le même volume d'eau ?