Calculer la dérivée seconde de plusieurs opérations de fonctions composées Exercice

La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = x + 1
et v(x) = \left(x + 2\right)^{2}

Ainsi :
f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Or :
u'(x) = 1
et
v'(x) = 2 x + 4

Donc :
f'(x) = - \frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \right)'
f''(x) = \frac{2 \left(\frac{3 \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}

La fonction x \mapsto \frac{2 \left(\frac{3 \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme u \times v avec :
u(x) = 5 x + 3 \
et \( v(x) = 4 - 3 x

Ainsi :
f' = u'v + uv'

Or :
u'(x) = 5
et
v'(x) = -3

Donc :
f'(x) = 11 - 30 x

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 11 - 30 x \right)'
f''(x) = -30

La fonction x \mapsto -30 est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = \sqrt{2x}
et v(x) = x^{2} - 1

Ainsi :
f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Or :
u'(x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}
et
v'(x) = 2 x

Donc :
f'(x) = - \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right)}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{2 \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x} \left(x^{2} - 1\right)} \right)'
f''(x) = \frac{\sqrt{2} \left(\frac{2 \sqrt{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 \sqrt{x}}{x^{2} - 1} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)}{x^{2} - 1}

La fonction x \mapsto \frac{\sqrt{2} \left(\frac{2 \sqrt{x} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 \sqrt{x}}{x^{2} - 1} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)}{x^{2} - 1} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme u \times v avec :
u(x) = e^{3 x}
et v(x) = \cos{\left(4 x + 1 \right)}

Ainsi :
f' = u'v + uv'

Or :
u'(x) = 3 e^{3 x}
et
v'(x) = - 4 \sin{\left(4 x + 1 \right)}

Donc :
f'(x) = - 4 e^{3 x} \sin{\left(4 x + 1 \right)} + 3 e^{3 x} \cos{\left(4 x + 1 \right)}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - 4 e^{3 x} \sin{\left(4 x + 1 \right)} + 3 e^{3 x} \cos{\left(4 x + 1 \right)} \right)'
f''(x) = - \left(24 \sin{\left(4 x + 1 \right)} + 7 \cos{\left(4 x + 1 \right)}\right) e^{3 x}

La fonction x \mapsto - \left(24 \sin{\left(4 x + 1 \right)} + 7 \cos{\left(4 x + 1 \right)}\right) e^{3 x} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

La fonction f est de la forme u + v avec :
u(x) = \sin{\left(x - 3 \right)}
et v(x) = \frac{1}{x^{2} - 3}

Ainsi :
f' = u' + v'

Or :
u'(x) = \cos{\left(x - 3 \right)}
et
v'(x) = - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}

Donc :
f'(x) = - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \cos{\left(x - 3 \right)}

Et en dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \cos{\left(x - 3 \right)} \right)'
f''(x) = \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 3\right)^{3}} - \sin{\left(x - 3 \right)} - \frac{2}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}

La fonction x \mapsto \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 3\right)^{3}} - \sin{\left(x - 3 \right)} - \frac{2}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .