Quelle est la dérivée seconde de la fonction f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} ?
La fonction f est de la forme \dfrac{1}{u(x)} avec u(x) = x^2 +1 .
Or :
\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)' = - \dfrac{u'(x)}{u^2(x)}
et u'(x) = 2x
Donc :
f'(x) = - \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \right)'
La dérivée est de la forme \dfrac{u}{v} et :
\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}
Donc :
f''(x) = \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
La fonction x \mapsto \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .
Ainsi, \left( \frac{1}{x^{2} + 1} \right)'' = \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} .
Quelle est la dérivée seconde de la fonction f(x) = \left(2 x + 3\right)^{3} ?
La fonction f est de la forme u(x)^n avec u(x) = 2x+3 .
Or :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
et u'(x) = 2 .
Ainsi :
f'(x) = 6 \left(2 x + 3\right)^{2}
Et en dérivant à nouveau :
f''(x) = \left( 6 \left(2 x + 3\right)^{2} \right)'
f''(x) = 24 \left(2 x + 3\right)
La fonction x \mapsto 24 \left(2 x + 3\right) est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .
Ainsi, \left( \left(2 x + 3\right)^{3} \right)'' = 24 \left(2 x + 3\right) .
Quelle est la dérivée seconde de la fonction f(x) = \sqrt{3 x + 2} ?
La fonction f est de la forme \sqrt{u(x)} , avec u(x) = 3x + 2 .
Or :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
et u'(x) = 3 .
Ainsi :
f'(x) = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 2}}
Et en dérivant à nouveau :
f''(x) = \left( \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 2}} \right)'
f''(x) = - \frac{9}{4 \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}
La fonction x \mapsto - \frac{9}{4 \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} est définie sur \left] -\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \left] -\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ .
Ainsi, \left( \sqrt{3 x + 2} \right)'' = - \frac{9}{4 \left(3 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} .
Quelle est la dérivée seconde de la fonction f(x) = e^{x^{2}} ?
La fonction f est de la forme \exp(u(x)) avec u(x) = x^2 .
Or :
\left( \exp(u(x)) \right)' = u'(x) \times \exp(u(x))
et u'(x) = 2x
Et :
f'(x) = 2 x e^{x^{2}}
En dérivant à nouveau :
f''(x) = \left( 2 x e^{x^{2}} \right)'
f''(x) = 2 \left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}
La fonction x \mapsto 2 \left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .
Ainsi, \left( e^{x^{2}} \right)'' = 2 \left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} .
Quelle est la dérivée seconde de la fonction f(x) = \sin{\left(x^{2} + 3 \right)} ?
La fonction f est de la forme \sin(u(x)) , avec u(x) = x^2 + 3 .
Or :
f'(x) = u'(x) \cos(u(x))
et u'(x) = 2x
Ainsi :
f'(x) = 2 x \cos{\left(x^{2} + 3 \right)}
La fonction f' est de la forme u(x)\times v(x) donc :
f''(x) = \left( 2 x \cos{\left(x^{2} + 3 \right)} \right)'
f''(x) = 2 \left(- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} + 3 \right)} + \cos{\left(x^{2} + 3 \right)}\right)
La fonction x \mapsto 2 \left(- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} + 3 \right)} + \cos{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .
Ainsi, \left( \sin{\left(x^{2} + 3 \right)} \right)'' = 2 \left(- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} + 3 \right)} + \cos{\left(x^{2} + 3 \right)}\right) .