Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} :
f(x) = - x^{2} - x + 2 e^{x - 1}
On cherche à calculer l'intervalle sur lequel f est convexe.
Quelle est la dérivée de f ?
On dérive terme à terme.
Ainsi, f'(x) = - 2 x - 1 + 2 e^{x - 1} .
Quelle est la dérivée seconde de f ?
Pour calculer la dérivée seconde, on dérive la dérivée première.
Ainsi, f''(x) = 2 \left(e^{x - 1} - 1\right) .
Sur quel intervalle la dérivée seconde est-elle positive ?
Soit x un réel.
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \left(e^{x - 1} - 1\right) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^{x - 1} \geq 1
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x-1 \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1
Ainsi, f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in [1;+\infty[ .
Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ?
Une fonction est convexe si sa courbe représentative est toujours au-dessus de ses tangentes. Cela se traduit par le fait que la dérivée première doit être croissante. Or, une fonction est croissante si sa dérivée est positive. Donc une fonction sera convexe si sa dérivée seconde est positive.
Or :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
Ainsi, f est convexe sur [1;+\infty[ .