Soit x_0 \in \mathbb{R} et f une fonction deux fois dérivable au voisinage I de x_0 .
On suppose que f'' > 0 sur I .
On cherche à montrer que f est au-dessus de ses tangentes.
Quelle est l'équation de la tangente à f en x_0 ?
Le coefficient directeur de la tangente à f en x_0 est f'(x_0) .
Donc il existe b \in \mathbb{R} l'ordonnée à l'origine telle que la tangente s'écrive :
y = f'(x_0) x + b
Or :
y_0 = f(x_0) = f'(x_0) x_0 + b \Leftrightarrow b = f(x_0) - f'(x_0) x_0
Donc la tangente s'écrit :
y = f'(x_0) x + f(x_0) - f'(x_0) x_0
Soit une fonction g telle que :
g(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0) (x-x_0)
Quel est le tableau de variations de g ?
g est dérivable car f est dérivable et :
g'(x) = f'(x) - f'(x_0)
Or, f'' est positive sur I donc f' est croissante.
Si x < x_0 , alors f'(x) < f'(x_0) et f'(x) - f'(x_0) < 0 donc g' < 0 .
Si x > x_0 , alors f'(x) > f'(x_0) et f'(x) - f'(x_0) > 0 donc g' > 0 .
On déduit que g est décroissante si x < x_0 et croissante si x > x_0 .
De plus :
g(x_0) = f(x_0) -f(x_0) - f'(x_0) (x_0 - x_0) = 0
Donc le minimum de g est atteint en x = x_0 et vaut 0 .
On en déduit que le tableau de variations de g est :
Quel est le signe de g ?
Le minimum de g est 0 .
Ainsi, g est positive.
Quelle inégalité est vraie ?
La fonction g est positive.
Ainsi :
g(x) = f(x) - f'(x_0) (x - x_0) - f(x_0) \geq 0 \Leftrightarrow f(x) \geq f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
Cette inégalité signifie que la courbe est au-dessus de sa tangente au point x = x_0 .
Ainsi, pour tout x , f(x) \geq f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0) .