Dans cet exercice, on étudie la fonction f d'expression :
f(x) = e^{-(x-1)^2}
Quel est le domaine de dérivabilité D de la fonction f ?
La fonction f est une fonction du type e^u avec :
u(x) = -(x-1)^2.
La fonction u est dérivable sur \mathbb{R} car c'est une fonction polynômiale.
D'après le cours, la fonction e^u est dérivable sur l'ensemble de dérivabilité de u.
f est donc dérivable sur \mathbb{R}.
Quelle expression de f' sur D peut-on donner ?
D'après la question précédente, f est dérivable sur \mathbb{R}.
D'après le cours, (e^u)'=u'e^u.
Dans le cas présent : pour tout réel x, u(x) = -(x-1)^2.
Donc pour tout réel x, u'(x) = -2(x-1) .
Ainsi, pour tout x \in \mathbb{R} :
f'(x)= -2(x-1)e^{-(x-1)^2}
Quel est le signe de f' sur \mathbb{R} ?
f' est le produit des fonctions :
v : x \rightarrow -2(x-1)
w : x \rightarrow e^{-(x-1)^2}
La fonction w étant du type e^{u}, elle est positive sur \mathbb{R}.
La fonction f' est donc du signe de la fonction v.
Pour tout réel x,-2(x-1) \geq 0 \Leftrightarrow x-1 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 1 .
Ainsi, la fonction v: x \rightarrow -2(x-1) est positive sur ]-\infty ; 1] et négative sur [1;+\infty[ .
Ainsi, f' est positive sur ]-\infty ; 1] et négative sur [1;+\infty[ .
Par déduction, quel est le tableau de variations de f sur \mathbb{R} ?
Grâce à la question précédente, on peut déterminer aisément les variations de f.
f est croissante sur ]-\infty ; 1] et décroissante sur [1;+\infty[ .
Pour compléter le tableau de variations, il faut donc calculer les limites de f en -\infty et en +\infty ainsi que la valeur de f(1).
Limites de f :
f est une fonction du type e^u, avec u(x)=-(x-1)^2=-x^2+2x-1. u est un polynôme du second degré donc ses limites dépendent du signe du coefficient multiplicateur de x^2. Ici, ce coefficient est négatif, donc :
\lim\limits_{x \to -\infty} u(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} u(x) = -\infty
On sait de plus que :
\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0
On a donc finalement :
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0
Calcul de f(1) :
Il suffit de remplacer x par 0 dans l'expression de f(x) :
f(0) = e^{-(1-1)^2}=e^0=1
On peut donc en déduire le tableau de variations de f suivant :
