Quels sont les points d'inflexion de la fonction f(x) = x e^{- x} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou réciproquement.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f''(x) = 0 .
f est de la forme uv donc on peut appliquer :
f' = (uv)' = u'v + uv'
Avec :
u(x) = x donc u'(x) = 1
et
v(x) = e^{- x} donc v'(x) = - e^{- x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = - x e^{- x} + e^{- x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - x e^{- x} + e^{- x} \right)'
f''(x) = \left(x - 2\right) e^{- x}
x est un point d'inflexion si f''(x) = 0 .
f''(x) = 0 \Leftrightarrow \left(x - 2\right) e^{- x} = 0
Or, e^{-x} > 0 pour tout x \in \mathbb{R} .
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2
Ainsi, f admet un point d'inflexion en x = 2 .
Quels sont les points d'inflexion de la fonction f(x) = - x^{2} - x + 2 e^{x - 1} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou réciproquement.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f''(x) = 0 .
On commence donc par dériver f terme à terme :
f'(x) = - 2 x + 2 e^{x - 1} - 1
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - 2 x + 2 e^{x - 1} - 1 \right)'
f''(x) = 2 \left(e^{x - 1} - 1\right)
x est un point d'inflexion si f''(x) = 0 .
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 2 \left(e^{x - 1} - 1\right) = 0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow e^{x - 1} = 1
Or, e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0 .
Donc :
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1
Ainsi, f admet un point d'inflexion en x = 1 .
Quels sont les points d'inflexion de la fonction f(x) = - 2 x^{4} + 6 x^{3} + 72 x^{2} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou réciproquement.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f''(x) = 0 .
On commence donc par dériver f terme à terme :
f'(x) = - 8 x^{3} + 18 x^{2} + 144 x
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - 8 x^{3} + 18 x^{2} + 144 x \right)'
f''(x) = 12 \left(- 2 x^{2} + 3 x + 12\right)
x est un point d'inflexion si f''(x) = 0 .
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 12 \left(- 2 x^{2} + 3 x + 12\right) = 0
On résout un polynôme du second degré.
\Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4 \times (-2) \times 12 = 105
On calcule les racines :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3 - \sqrt{105}}{-4} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{105}}{4}
et
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3 - \sqrt{105}}{-4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{105}}{4}
Ainsi :
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ \dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{105}}{4}; \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{105}}{4} \right\}
Ainsi, f admet des points d'inflexion en \left\{ \dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{105}}{4}; \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{105}}{4} \right\} .
Quels sont les points d'inflexion de la fonction f(x) = \left(x + 4\right) \ln{\left(x \right)} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou réciproquement.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f''(x) = 0 .
f est de la forme uv donc on peut appliquer :
f' = (uv)' = u'v + uv'
Avec :
u(x) = x + 4 donc u'(x) = 1
et
v(x) = \ln{\left(x \right)} donc v'(x) = \frac{1}{x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = \ln{\left(x \right)} + \frac{x + 4}{x} = \ln{\left(x \right)} + 1 + \frac{4}{x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \ln{\left(x \right)} + 1 + \frac{4}{x} \right)'
f''(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2} = \frac{x-4}{x^2}
x est un point d'inflexion si f''(x) = 0 .
f''(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x-4}{x^2} = 0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4
Ainsi, f admet un point d'inflexion en x = 4 .
Quels sont les points d'inflexion de la fonction f(x) = x^{3} + 3 ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou réciproquement.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f''(x) = 0 .
f est de la forme u+v donc on peut appliquer :
f' = u'+v'
Avec :
u(x) = x^{3} donc u'(x) = 3 x^{2}
et
v(x) = 3 donc v'(x) = 0
On commence donc par dériver f :
f'(x) = 3 x^{2}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 3 x^{2} \right)'
f''(x) = 6 x
x est un point d'inflexion si f''(x) = 0 .
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 6 x = 0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0
Ainsi, f admet un point d'inflexion en x = 0 .