Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{3 \right\}, f(x) = \dfrac{1}{x-3}
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
La fonction x \longmapsto x-3 est une fonction affine définie et dérivable sur \mathbb{R} qui s'annule en x=3.
La fonction x \longmapsto \dfrac{1}{x} est définie et dérivable sur \mathbb{R}^*.
La fonction f : x \longmapsto \dfrac{1}{x-3} est donc définie et dérivable sur \mathbb{R}\backslash \left\{3 \right\}.
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}\backslash \left\{3 \right\}
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R} ^* , f(x) = \dfrac{1}{x^3}
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
La fonction x \longmapsto x^3 est la fonction cube définie et dérivable sur \mathbb{R} qui s'annule en x=0.
La fonction x \longmapsto \dfrac{1}{x} est définie et dérivable sur \mathbb{R}^*.
La fonction f : x \longmapsto \dfrac{1}{x^3} est donc définie et dérivable sur \mathbb{R}^*.
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}^*.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \left] -1 ; +\infty \right[ , f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
La fonction x \longmapsto \sqrt{x+1} est une fonction affine composée par la fonction racine carrée définie sur \left[-1 ; +\infty \right[ et dérivable sur \left]-1 ; +\infty \right[ qui s'annule en -1.
La fonction x \longmapsto \dfrac{1}{x} est définie et dérivable sur \mathbb{R}^*.
La fonction f : x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} est donc dérivable sur \left]-1 ; +\infty \right[.
Le domaine de dérivabilité de f est donc \left]-1 ; +\infty \right[.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ; 2 \right\}, f(x) = \dfrac{3\sqrt{5}}{x^2 - 3x + 2}
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
La fonction x \longmapsto x^2 -3x +2 est une fonction polynôme du second degré définie et dérivable sur \mathbb{R}. On remarque que x=1 en est une racine évidente, et on peut déduire la deuxième racine en factorisant l'expression : (x-1)(x-2). Cette fonction s'annule en x=1 et x=2.
La fonction x \longmapsto \dfrac{1}{x} est définie et dérivable sur \mathbb{R}^*.
La fonction x \longmapsto 3\sqrt{5} est définie et dérivable sur \mathbb{R} comme fonction constante.
La fonction f : x \longmapsto \dfrac{3\sqrt{5}}{x^2 -3x + 2} est donc dérivable sur \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ; 2 \right\}.
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ; 2 \right\}
Soit la fonction \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ; 2 \right\} définie par :
\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{5}{3} \right\}, f(x) = \dfrac{-7}{(3x-5)^2}
Quel est le domaine de dérivabilité de f ?
La fonction x \longmapsto (3x - 5)^2 est une fonction polynôme du second degré définie et dérivable sur \mathbb{R} qui s'annule pour x=\dfrac{5}{3}.
La fonction x \longmapsto \dfrac{1}{x} est définie et dérivable sur \mathbb{R}^*.
La fonction x \longmapsto -7 est définie et dérivable sur \mathbb{R} comme fonction constante.
La fonction f : x \longmapsto \dfrac{-7}{(3x-5)^2} est donc dérivable sur \mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{5}{3} \right\}.
Le domaine de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{5}{3} \right\}.