Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir d'opérations de fonctions usuelles Problème

La fonction f est définie comme un produit de fonctions usuelles. 

La fonction x\mapsto x est définie et dérivable sur D_1=\mathbb{R}, tandis que la fonction logarithme népérien x\mapsto \ln(x) est définie et dérivable sur D_2=\mathbb{R}^*_+. 

D'après les propriétés sur le domaine de dérivabilité d'un produit de fonctions, on a : 
D=D_1 \cap D_2 = \mathbb{R}_+^*

f est dérivable sur D en tant que produit de fonctions dérivables sur D. 

Pour rappel, on a : 
(uv)'=u'v+v'u

Dans le cas présent :
u(x) = x  

v(x) = \ln(x) 

On a donc :
u'(x) = 1

v'(x) = \dfrac{1}{x}  

Finalement : 
f'(x) = \ln(x)+ 1 

Pour rappel, on a pour tout x>0: f'(x) = \ln(x)+1. 

\ln(x)+1>0 \Leftrightarrow \ln(x) > -1

La fonction exponentielle étant croissante sur \mathbb{R}, on en déduit : 
e^{\ln(x)}>e^{-1} \Leftrightarrow x > e^{-1}  

On a déterminé le signe de f' au cours de la question précédente. 

On peut en déduire les variations de f sur \mathbb{R}_+^* : f est décroissante sur]0;e^{-1}] et croissante sur [e^{-1};+\infty[. 

Afin de réaliser le tableau de variations de f, il nous faut calculer les limites de f et la valeur de f(e^{-1}).

Limite de f et 0 : 

f est un produit des fonctions u: x \mapsto x et v: x \mapsto \ln(x) . 

On a :
\lim \limits_{x \to 0} u(x) = 0
\lim \limits_{x \to 0} v(x) = - \infty

Ceci est une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination, on peut ici utiliser les croissances comparées de la fonction logarithme.

D'après le cours, on a :
\lim \limits_{x \to 0} x\ln(x) = 0

Donc \lim \limits_{x \to 0} f(x) = 0. 

Limite de f en +\infty : 

f est un produit des fonctions u: x \mapsto x et v: x \mapsto \ln(x) . 

On a :
\lim \limits_{x \to +\infty} u(x) =+\infty  
\lim \limits_{x \to +\infty} v(x) =+\infty

Donc :
\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty

Valeur de f(e^{-1}) : 

f(e^{-1}) = e^{-1}\ln(e^{-1}) = -e^{-1}