On considère dans cet exercice la fonction définie par l'expression :
f(x) = \dfrac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x} }
Quel est l'ensemble de dérivation D de la fonction f ?
Pour tout réel x\neq 0, on a f(x)=\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}.
La fonction f est un quotient de deux fonctions.
La première est x \mapsto e^{\frac{1}{x}} . C'est une fonction du type e^u.
D'après le cours, cette fonction est dérivable sur l'ensemble de dérivabilité de la fonction écrite dans l'exposant. Ici, la fonction est x \mapsto \dfrac{1}{x}, elle est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}^{\star}.
La deuxième est la fonction carré, qui est dérivable sur \mathbb{R} mais s'annule en 0.
Par quotient, f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}^{\star}.
L'ensemble de dérivation de f est donc :
D = \mathbb{R}^{\star}
Quelle expression de f' sur D peut-on déterminer ?
f est un quotient de fonctions dérivables sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}^{\star}.
D'après le cours :
\left(\dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v -v'u}{v^2}
Ici, pour tout x \in \mathbb{R}^{\star} :
u(x) = e^{\frac{1}{x}} et v(x)=x^2
u est une fonction du type e^w que l'on peut dériver avec la formule (e^w)'=w'e^w.
Donc, pour tout x \in \mathbb{R}^{\star} :
u'(x) = \dfrac{-1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} et v'(x) = 2x
Donc finalement, pour tout x \in \mathbb{R}^{\star} :
f'(x) = \dfrac{ \frac{-1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \times x^2 - 2xe^{\frac{1}{x}}}{x^4} = \dfrac{-e^{\frac{1}{x}}-2xe^{\frac{1}{x}}}{x^4} =- \dfrac{(2x+1)e^{\frac{1}{x}}}{x^4}
Ainsi, pour tout x \in \mathbb{R}^{\star} :
f'(x) =- \dfrac{(2x+1)e^{\frac{1}{x}}}{x^4}
Quel est le signe de f' sur D ?
On rappelle que pour tout x \in \mathbb{R}^{\star} :
f'(x) =-\dfrac{(2x+1)e^{\frac{1}{x}}}{x^4}
Sur \mathbb{R}^{\star}_+ et sur \mathbb{R}^{\star}_- on a : x^4 > 0 et e^{\frac{1}{x}} > 0 car une exponentielle est toujours positive tout comme une fonction de puissance d'exposant pair.
Enfin, pour tout x \in \mathbb{R}^{\star} :
2x+1 \geq 0 \Leftrightarrow 2x > -1 \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2}
Ainsi, 2x+1 est positive sur [-\dfrac{1}{2} ; +\infty [ et négative sur ]-\infty ; -\dfrac{1}{2}] .
En rassemblant ces informations (et en n'oubliant pas le signe négatif dans la formule de f'), on obtient :
- f' est positive sur ]-\infty ; -\dfrac{1}{2} [ .
- f' est négative sur ] -\dfrac{1}{2};0 [ .
- f' est négative sur ]0; +\infty [ .
- f' est positive sur ]-\infty ; -\dfrac{1}{2} [ .
- f' est négative sur ] -\dfrac{1}{2};0 [ .
- f' est négative sur ]0; +\infty [ .
Quel est le tableau de variations de f ?
D'après la question précédente, on peut déduire du signe de f' les variations de f :
- f est croissante sur ]-\infty ; -\dfrac{1}{2}[ .
- f est décroissante sur ]-\dfrac{1}{2} ; 0[ .
- f est décroissante sur ]0; +\infty [ .
Afin de compléter le tableau de variations de f il faut calculer les limites de f ainsi que sa valeur en x=-\dfrac{1}{2}.
Limite en - \infty :
On a :
\lim \limits_{x \to -\infty} x^2 = + \infty
\lim \limits_{x \to - \infty} \dfrac{1}{x} = 0
Donc \(\displaystyle\lim \limits_{x \to - \infty} e^{\frac{1}{x} }= \lim\limits_{X\to 0}e^X=1 \)
Finalement :
\lim \limits_{x \to - \infty} f(x) = 0
Limite en 0^- :
On a :
\lim \limits_{x \to 0_-} x^2 = 0
\lim \limits_{x \to 0_-} \dfrac{1}{x} = -\infty
Donc \(\displaystyle\lim \limits_{x \to 0_-} e^{\frac{1}{x} }= \lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0 \)
Ici, il y a une forme indéterminée à cause du dénominateur qui tend vers 0. On peut la lever grâce aux croissances comparées de la fonction exponentielle : on dit que la limite de l'exponentielle l'emporte sur les fonctions polynômes.
Donc ici :
\lim \limits_{x \to 0_-} f(x) = 0
Limite en 0^+ :
On a :
\lim \limits_{x \to 0_+} x^2 = 0^+
\lim \limits_{x \to 0_+} \dfrac{1}{x} = +\infty
Donc \(\displaystyle\lim \limits_{x \to 0_+} e^{\frac{1}{x} }=\lim\limits_{X\to +\infty}e^X =+\infty \)
Donc finalement :
\lim \limits_{x \to 0_+} f(x) = +\infty
Limite en +\infty :
On a :
\lim \limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty
\lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
Donc \(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x} }=\lim\limits_{X\to 0}e^X =1 \)
Donc finalement (pas de forme indéterminée) :
\lim \limits_{x \to 0_-} f(x) = 0
Valeur en x=-\dfrac{1}{2} :
f(\dfrac{-1}{2})= \dfrac{1}{\frac{1}{4}} e^{-2} = 4e^{-2}
On peut finalement en déduire le tableau de variations suivant :
