Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f d'expression suivante ?
f(x) = \sqrt{2 x + 2}
On sait qu'une fonction du type \sqrt{u} est dérivable sur un intervalle I si u est dérivable et strictement positive sur I.
Ici, f=\sqrt{u} avec u(x)=2x+2.
La fonction x\mapsto 2x+2 est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable si :
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow 2x > -2
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{-2}{2} = -1
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x \in ]-1;+\infty[
Ainsi, f est dérivable sur ]-1; +\infty [ .
Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f d'expression suivante ?
f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}
On sait qu'une fonction du type \sqrt{u} est dérivable sur un intervalle I si u est dérivable et strictement positive sur I.
Ici, f=\sqrt{u} avec u(x)=x^2+1.
La fonction x\mapsto x^2+1 est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} + 1 > 0 \Leftrightarrow x^2 > -1
x^{2} + 1 > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La somme d'un carré et de 1 est strictement positive puisque le carré d'un réel est positif.
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R} .
Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f d'expression suivante ?
f(x) = \sqrt{x^{2} - 1}
On sait qu'une fonction du type \sqrt{u} est dérivable sur un intervalle I si u est dérivable et strictement positive sur I.
Ici, f=\sqrt{u} avec u(x)=x^2-1.
La fonction x\mapsto x^2-1 est dérivable sur \mathbb{R}.
Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 1
x^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1;+\infty[
Ainsi, f est dérivable sur ]-\infty; -1[ \cup ]1;+\infty[ .
Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f d'expression suivante sur [0; 2\pi] ?
f(x) = \sqrt{\cos{\left(x \right)}}
On sait qu'une fonction du type \sqrt{u} est dérivable sur un intervalle I si u est dérivable et strictement positive sur I.
Ici, f=\sqrt{u} avec u(x)=\cos(x).
La fonction x\mapsto \cos(x) est dérivable sur \mathbb{R}.
f est dérivable si \cos{\left(x \right)} > 0.
Soit x\in[0;2\pi].
\cos{\left(x \right)} > 0 \Leftrightarrow x \in \left]0; \dfrac{\pi}{2} \right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right[
Ainsi, f est dérivable sur \left]0; \dfrac{\pi}{2} \right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right[ .
Quel est le domaine de dérivabilité de la fonction f d'expression suivante ?
f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x}}
On sait qu'une fonction du type \sqrt{u} est dérivable sur un intervalle I si u est dérivable et strictement positive sur I.
Ici, f=\sqrt{u} avec u(x)=\dfrac{1}{x}.
La fonction x\mapsto \dfrac{1}{x} est dérivable sur \mathbb{R}_-^{\star} et \mathbb{R}_+^{\star}.
Donc f est dérivable si :
\frac{1}{x} > 0 \Leftrightarrow x > 0
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* .