Que peut-on dire de la fonction f(x) = \frac{1}{x} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
f'(x) = - \frac{1}{x^{2}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{1}{x^{2}} \right)'
f''(x) = \frac{2}{x^{3}}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{3}} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}_+^*
La fonction x \mapsto \frac{2}{x^{3}} est positive sur \mathbb{R}_+^* et négative sur \mathbb{R}_-^* .
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R}_+^* et concave sur \mathbb{R}_-^* .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = x^{2} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
f'(x) = 2 x
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 2 x \right)'
f''(x) = 2
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La fonction x \mapsto 2 est positive sur \mathbb{R} et jamais négative.
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R} .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \sqrt{x} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right)'
f''(x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \varnothing
La fonction x \mapsto - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} n'est jamais positive, et est négative sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est concave sur \mathbb{R}_+^* .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = e^{x} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
f'(x) = e^{x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( e^{x} \right)' f''(x) = e^{x}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^{x} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La fonction x \mapsto e^{x} est positive sur \mathbb{R} et jamais négative.
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R} .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \sin{\left(x \right)} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I .
La fonction f est périodique de période 2 \pi . On regarde donc sa convexité sur [0; 2\pi] .
On commence donc par dériver f :
f'(x) = \cos{\left(x \right)}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \cos{\left(x \right)} \right)'
f''(x) = - \sin{\left(x \right)}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow - \sin{\left(x \right)} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in [\pi;2\pi]
La fonction x \mapsto - \sin{\left(x \right)} est positive sur [\pi;2\pi] et négative sur [0;\pi] .
Ainsi, f est convexe sur \left[ \pi; 2\pi \right] et concave sur \left[ 0; \pi \right] .