Soit f la fonction suivante définie sur \mathbb{R}_+^* :
f(x) = \dfrac{2x^2+x-1}{x^2}
Quelle est l'abscisse x du point d'inflexion de f ?
On a :
f(x) = \dfrac{2x^2 + x -1 }{x^2}
f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et :
f'(x) = \dfrac{(4x+1)x^2 - (2x^2+x-1)2x }{x^4}
f'(x) = \dfrac{4x^3+x^2 - 4x^3-2x^2+2x }{x^4}
f'(x) = \dfrac{-x^2+2x }{x^4}
f'(x) = \dfrac{-x+2 }{x^3}
Donc f' est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et :
f''(x) = \dfrac{-x^3 - 3x^2(2-x)}{x^6}
f''(x) = \dfrac{-x^3 - 6x^2+3x^3}{x^6}
f''(x) = \dfrac{- 6x^2+2x^3}{x^6}
f''(x) = \dfrac{- 6+2x}{x^4}
A est un point d'inflexion si et seulement si f'' s'annule et A et change de signe en A.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 2-6x=0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x=3
2x-6 change de signe en x=3 .
Donc f'' change de signe en x=3.
Le point d'abscisse x=3 est donc un point d'inflexion de f.
Soit f la fonction suivante définie sur \mathbb{R} :
f(x) = (x-1)^3+3
Quelle est l'abscisse x du point d'inflexion de f ?
On a :
f(x) = (x-1)^3+3
f est dérivable sur \mathbb{R} et :
f'(x) = 3(x-1)^2
Donc f' est dérivable sur \mathbb{R} et :
f''(x) =6(x-1)
A est un point d'inflexion si et seulement si f'' s'annule et A et change de signe en A.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x-1=0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x=1
x-1 change de signe en x=1 .
Donc f'' change de signe en x=1.
Le point d'abscisse x=1 est donc un point d'inflexion de f.
Soit f la fonction suivante définie sur [2;10] :
f(x) = (x-5)^5+5
Quelle est l'abscisse x du point d'inflexion de f ?
On a :
f(x) = (x-5)^5+5
f est dérivable sur [2;10] et :
f'(x) = 5(x-5)^4
Donc f' est dérivable sur [2;10] et :
f''(x) =20(x-5)^3
A est un point d'inflexion si et seulement si f'' s'annule et A et change de signe en A.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow (x-5)^3=0
Une solution évidente de (x-5)^3=0 est x=5.
On ne cherche pas les autres solutions de cette équation car on ne cherche qu'un point d'inflexion.
x-5 change de signe en x=5 .
Donc (x-5)^3 change de signe en x=5 .
Donc f'' change de signe en x=5.
Le point d'abscisse x=5 est donc un point d'inflexion de f.
Soit f la fonction suivante définie sur \mathbb{R} :
f(x) = (x-5)\ \text{e}^{2x}
Quelle est l'abscisse x du point d'inflexion de f ?
On a :
f(x) = (x-5)\ \text{e}^{2x}
f est dérivable sur \mathbb{R} et :
f'(x) = \text{e}^{2x} + 2(x-5)\ \text{e}^{2x}
f'(x) = (2x-9)\ \text{e}^{2x}
Donc f' est dérivable sur \mathbb{R} et :
f''(x) = 2\ \text{e}^{2x} +2(2x-9)\ \text{e}^{2x}
f''(x) = (4x-16)\ \text{e}^{2x}
A est un point d'inflexion si et seulement si f'' s'annule et A et change de signe en A.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 4x-16=0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x=4
4x-16 change de signe en x=4 .
Donc f'' change de signe en x=4.
Le point A est donc d'abscisse x=4.
Soit f la fonction suivante définie sur \mathbb{R} :
f(x) = (x+10)\ \text{e}^{-4x}
Quelle est l'abscisse x du point d'inflexion de f ?
On a :
f(x) = (x+10)\ \text{e}^{-4x}
f est dérivable sur \mathbb{R} et :
f'(x) = \text{e}^{-4x} -4 (x+10)\ \text{e}^{-4x}
f'(x) = (-4x-39)\ \text{e}^{-4x}
Donc f' est dérivable sur \mathbb{R} et :
f''(x) = -4\text{e}^{-4x} -4(-4x-39)\ \text{e}^{-4x}
f''(x) = (16x+152)\ \text{e}^{-4x}
A est un point d'inflexion si et seulement si f'' s'annule et A et change de signe en A.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow 16x+152=0
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x=-9{,}5
16x+152 change de signe en x=-9{,}5 .
Donc f'' change de signe en x=-9{,}5.
Le point d'abscisse x=-9{,}5 est donc un point d'inflexion de f.