On donne les nombres complexes suivants :
z_1=\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}i
Dans quelle proposition a-t-on correctement calculé le module et un argument de z_1 ?
Module de z_1
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z_1=\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}i. On a donc :
- Re\left(z_1\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}
- Im\left(z_1\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}
On peut donc calculer :
\left| z_1 \right|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2}
\left| z_1 \right|=1
Argument de z_1
On note \theta_1 un argument de z_1.
On sait que :
- \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{Re\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
- \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{Im\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On en conclut que \theta_1=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
\left| z_1 \right|=1 et arg\left(z_1\right)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Par déduction, quels sont le module et un argument de z_2, avec z_2=\left(z_1\right)^{12} ?
Module de z_2
z_2=\left(z_1\right)^{12}
On sait, d'après les questions précédentes, que :
\left| z_1 \right|=1
Donc :
\left| z_2 \right|=1^{12}
\left| z_2 \right|=1
Argument de z_2
z_2=\left(z_1\right)^{12}
On a donc :
arg\left(z_2\right)=12\times arg\left(z_1\right)
Et, d'après les questions précédentes :
arg\left(z_2\right)=12 \times \dfrac{\pi}{4}
arg\left(z_2\right)=3\pi
\left| z_2\right|=1 et arg\left(z_2\right)=\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}