On donne les nombres complexes suivants :
z_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}i et z_2=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}i
Dans quelle proposition a-t-on correctement calculé le module et un argument de z_1 ?
Module de z_1
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z_1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}i. On a donc :
- Re\left(z_1\right)=\dfrac{1}{2}
- Im\left(z_1\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}
On peut donc calculer :
\left| z_1 \right|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}
\left| z_1 \right|=1
Argument de z_1
On note \theta_1 un argument de z_1.
On sait que :
- \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{Re\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
- \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{Im\left(z_1\right)}{\left| z_1 \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta_1\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}
- \sin\left(\theta_1\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt3}{2}
On en conclut que \theta_1=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
\left| z_1 \right|=1 et arg\left(z_1\right)=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Dans quelle proposition a-t-on correctement calculé le module et un argument de z_2 ?
Module de z_2
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z_1=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}i. On a donc :
- Re\left(z_2\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}
- Im\left(z_2\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}
On peut donc calculer :
\left| z_2 \right|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2}
\left| z_2 \right|=1
Argument de z_2
On note \theta_2 un argument de z_2.
On sait que :
- \cos\left(\theta_2\right)=\dfrac{Re\left(z_2\right)}{\left| z_2 \right|}
- \sin\left(\theta_2\right)=\dfrac{Im\left(z_2\right)}{\left| z_2 \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta_2\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt2}{2}
- \sin\left(\theta_2\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt2}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt2}{2}
On en conclut que \theta_2=\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
\left| z_2 \right|=1 et arg\left(z_2\right)=\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Par déduction, quels sont le module et un argument de z_3, avec z_3={z_1}\times{z_2} ?
Module de z_3
z_3={z_1}\times{z_2}
On a donc :
\left| z_3\right|=\left| {z_1}\times{z_2}\right|
\left| z_3\right|=\left| {z_1}\right|\times\left|{z_2}\right|
Et, d'après les questions précédentes :
\left| z_3\right|={1}\times{1}
\left| z_3\right|=1
Argument de z_3
z_3={z_1}\times{z_2}
On a donc :
arg\left(z_3\right)=arg\left(z_1\right)+arg\left(z_2\right)
Et, d'après les questions précédentes :
arg\left(z_3\right)=\dfrac{5\pi}{3}+\dfrac{7\pi}{4}
arg\left(z_3\right)=-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}
arg\left(z_3\right)=-\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}
arg\left(z_3\right)=-\dfrac{7\pi}{12}
\left| z_3\right|=1 et arg\left(z_3\right)=-\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}