Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right), on considère le cercle C de centre A(3;2) et de rayon 4.
Soit le point B(7;2).
Le point B appartient-il au cercle C ?
Le point B appartient au cercle C si et seulement si \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 4.
On peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A\\x_{\overrightarrow{AB}} = 7 - 3 = 4
et
y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A\\y_{\overrightarrow{AB}} = 2 - 2 = 0
On a donc :
\overrightarrow{AB}(4;0)
On peut maintenant calculer la norme du vecteur \overrightarrow{AB} :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{4^2 + 0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{4^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 4
La distance AB est donc égale au rayon du cercle C de centre A.
Ainsi, par définition, B appartient donc au cercle C.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right), on considère le cercle C de centre A(3;2) et de rayon 4.
Soit le point B(-5;6).
Le point B appartient-il au cercle C ?
Le point B appartient au cercle C si et seulement si \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 4.
On peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A\\x_{\overrightarrow{AB}} = -5 - 3 = -8
et
y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A\\y_{\overrightarrow{AB}} = 6 - 2 = 4
On a donc :
\overrightarrow{AB}(8;4)
On peut maintenant calculer la norme du vecteur \overrightarrow{AB} :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{8^2 + 4^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{64+16}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{80}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 4\sqrt{5}
La distance AB n'est donc pas égale au rayon du cercle C de centre A.
Ainsi, par définition, B n'appartient pas au cercle C.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right), on considère le cercle C de centre A(4;0) et de rayon 4.
Soit le point B(7;\sqrt{7}).
Le point B appartient-il au cercle C ?
Le point B appartient au cercle C si et seulement si \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 4.
On peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A\\x_{\overrightarrow{AB}} = 7 - 4 = 3
et
y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A\\y_{\overrightarrow{AB}} = \sqrt{7} - 0 = \sqrt{7}
On a donc :
\overrightarrow{AB}(3;\sqrt{7})
On peut maintenant calculer la norme du vecteur \overrightarrow{AB} :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{3^2 + \sqrt{7}^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{9+7}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{16}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 4
La distance AB est donc égale au rayon du cercle C de centre A.
Ainsi, par définition, B appartient au cercle C.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right), on considère le cercle C de centre A(10;8) et de rayon 7.
Soit le point B(9;5).
Le point B appartient-il au cercle C ?
Le point B appartient au cercle C si et seulement si \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 7.
On peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A\\x_{\overrightarrow{AB}} = 9 - 10 = -1
et
y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A\\y_{\overrightarrow{AB}} = 5 - 8 = -3
On a donc :
\overrightarrow{AB}(-1;-3)
On peut maintenant calculer la norme du vecteur \overrightarrow{AB} :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{1 + 9}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{10}
La distance AB n'est donc pas égale au rayon du cercle C de centre A.
Ainsi, par définition, B n'appartient pas au cercle C.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}\right), on considère le cercle C de centre A(-5;7) et de rayon 9.
Soit le point B(-14;7).
Le point B appartient-il au cercle C ?
Le point B appartient au cercle C si et seulement si \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 9.
On peut trouver les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} :
x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A\\x_{\overrightarrow{AB}} = -14 + 5 = -9
et
y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A\\y_{\overrightarrow{AB}} = 7 - 7 = 0
On a donc :
\overrightarrow{AB}(-9;0)
On peut maintenant calculer la norme du vecteur \overrightarrow{AB} :
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{(-9)^2 + 0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{81}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = 9
La distance AB est donc égale au rayon du cercle C de centre A.
Ainsi, par définition, B appartient au cercle C.