Établir l'alignement de trois points à l'aide de vecteurs Exercice

Les points A(3, 7), B(4{,}4) et C(0, 2) sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, donc si det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 0.

Ici, on a :
\overrightarrow{AB}(1, -3)
et
\overrightarrow{BC}(-4, -2)

det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 1 \times (-2) - (-3) \times (-4)\\\Leftrightarrow det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} =-2 - 12\\\Leftrightarrow det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} =-14 \neq 0

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} ne sont pas colinéaires.

Les points A(0, 0), B(4{,}4) et C(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}) sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, donc si det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 0.

Ici, on a :
\overrightarrow{AB}(4, 4)
et
\overrightarrow{BC}(-\dfrac{9}{2}, -\dfrac{9}{2})

det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 4 \times (-\dfrac{9}{2}) - 4 \times (-\dfrac{9}{2})\\\Leftrightarrow det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)}=0

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.

Les points A(-1, 2), B(2,-4) et C(-8, 16) sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, donc si det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 0.

Ici, on a :
\overrightarrow{AB}(3, -6)
et
\overrightarrow{BC}(-10, 20)

det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 3 \times 20 - (-6)\times(-10)\\\Leftrightarrow det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 60 - 60\\\Leftrightarrow det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 0

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.

Les points A(2, 6), B(4{,}5) et C(6, 4) sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, soit si det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 0.

Ici, on a :
\overrightarrow{AB}(2, -1)
et
\overrightarrow{BC}(2, -1)

det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 2 \times (-1) - 2\times (-1) = 0

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.

Les points A(\sqrt{3}, 2), B(\sqrt{6},2) et C(-24, 2) sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, soit si det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = 0.

Ici, on a :
\overrightarrow{AB}(\sqrt{6}-\sqrt{3}, 0)
et
\overrightarrow{BC}(-24 - \sqrt{6}, 0)

det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC)} = (\sqrt{6}-\sqrt{3}) \times 0 - (-24 - \sqrt{6})\times 0 = 0

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.