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Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Lorsqu'un point B est l'image d'un point A par la symétrie de centre I, on peut déterminer les coordonnées de B à partir des coordonnées des deux autres points.
On considère les points A\left(4;5\right) et I\left(-1;2\right). Déterminer les coordonnées de B, image de A par la symétrie de centre I.
Identifier un point comme le milieu des deux autres
On explique que, comme B est l'image de A par la symétrie de centre I, alors I est le milieu du segment \left[ AB \right].
B est l'image de A par la symétrie de centre I. Ainsi, I est le milieu du segment \left[ AB \right].
Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points
On rappelle que, si I est le milieu de \left[ AB\right], alors :
- x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
- y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}
Comme I est le milieu de \left[ AB\right], on sait que ses coordonnées vérifient :
- x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
- y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}
En déduire l'expression des coordonnées du symétrique
On déduit l'expression des coordonnées du symétrique en les isolant dans les relations précédentes. On obtient :
- x_B = 2x_I -x_A
- y_B = 2y_I -y_A
On sait que :
x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
Donc :
2x_I = x_A + x_B
D'où :
x_B = 2x_I -x_A
De même :
y_B = 2y_I -y_A
Rappeler les coordonnées des points connus
On rappelle les coordonnées des points A et I.
Or, on sait que A\left(4;5\right) et I\left(-1;2\right).
Conclure
On effectue le calcul de x_B et de y_B, puis on conclut en donnant les coordonnées de B.
On en déduit que :
- x_B =2\times \left(-1\right)-4 = -2-4 = -6
- y_B = 2 \times 2 -5 = 4-5 = -1
Par conséquent, le point B a pour coordonnées \left(-6;-1\right).