Soient deux points A et B dans le plan, et une homothétie de centre O et de rapport k strictement positif.
On note A' et B' les images respectives par l'homothétie de A et B .
Que vaut la longueur A'B' ?
Comment peut-on écrire \overrightarrow{OA'} en fonction de \overrightarrow{OA} ?
Le point A' est l'image de A par l'homothétie de centre O et de rapport k strictement positif.
L'homothétie laisse O fixe et envoie le point A sur un point A' situé sur la droite (OA) par un agrandissement de rapport k . Il s'agit d'une translation du point A .
On a donc la relation vectorielle : \overrightarrow{OA'} = k \times \overrightarrow{OA} .
Comment peut-on écrire \overrightarrow{OB'} en fonction de \overrightarrow{OB} ?
Le point B' est l'image de B par l'homothétie de centre O et de rapport k strictement positif.
L'homothétie laisse O fixe et envoie le point B sur un point B' situé sur la droite (OB) par un agrandissement de rapport k . Il s'agit d'une translation du point B .
On a donc la relation vectorielle : \overrightarrow{OB'} = k \times \overrightarrow{OB} .
Comment peut-on écrire \overrightarrow{A'B'} ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{A'O} + \overrightarrow{OB'}
Or :
\overrightarrow{OA'} = k \times \overrightarrow{OA}
Donc :
\overrightarrow{A'O} = - \overrightarrow{OA'} = - k \times \overrightarrow{OA}
et
\overrightarrow{OB'} = k \times \overrightarrow{OB}
Ainsi :
\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{A'O} + \overrightarrow{OB'}
\overrightarrow{A'B'} =- k \times \overrightarrow{OA} + k \times \overrightarrow{OB} = k (- \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})
Or :
- \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}
Donc :
\overrightarrow{A'B'} = k (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB})
Et, d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}
On en déduit donc : \overrightarrow{A'B'} = k \overrightarrow{AB} .
Que vaut la longueur A'B' ?
On a :
\overrightarrow{A'B'} = k \overrightarrow{AB}
En prenant les normes des vecteurs, on a :
\left\Vert \overrightarrow{A'B'} \right\Vert = \left\Vert k \overrightarrow{AB} \right\Vert
Donc A'B' = k AB .