Dériver un quotient de fonctions dérivables comprenant une composée de fonction affine par la fonction exponentielle Exercice

Soient u, v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f=\dfrac{u}{v} est une fonction dérivable sur I \in \mathbb{R}\backslash\left\{ x, v(x)=0 \right\} et f'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}.

On pose :

• \forall x \in \mathbb{R},  u(x) = \exp(-2x+1)
• \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = (1+3x) 

 

On a :

• u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R},  u'(x) = -2\exp(-2x+1)  ;
• v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = 3.

 

Ainsi, f est dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\} et :
\forall x\in\mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\}, f'(x) = \dfrac{-2\exp(-2x+1)(1 + 3x) -\exp(-2x+1)3}{(1+3x)^2} 

En factorisant par \exp(-2x + 1), on obtient :
\forall x\in\mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\}, f'(x) = \dfrac{\exp(-2x+1)\left(-2 - 6x - 3\right)}{(1+3x)^2} 

Finalement :
\forall x\in\mathbb{R} \backslash \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\}, f'(x) = -\exp(-2x+1)\times\dfrac{2+6x +3}{(1+3x)^2} 

Première méthode pour calculer la dérivée de f :

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{\exp(2x+1)}{ \exp(x + 2)}

On pose g(x)=\exp(x).

On a :

• g est la fonction exponentielle, donc dérivable pour \forall x \in \mathbb{R} ;
• 2x+1 et x+2 deux fonctions affines dérivables sur \mathbb{R}.

 

D'où :

• \forall x \in \mathbb{R}, g'(2x+1)=2\exp(x+1)
• \forall x \in \mathbb{R}, g'(x+2)=\exp(x+2)

 

f est le quotient de deux fonctions composées dérivables sur \mathbb{R} et dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et on obtient pour tout nombre réel x :
f'(x) = \dfrac{2\exp(2x+1)\exp(x + 2) -\exp(2x+1)\exp(x+2)}{\exp(x+2)^2} 
f'(x) = \dfrac{\exp(2x+1)\exp(x+2)(2 - 1)}{\exp(x+2)^2} 
f'(x) = \dfrac{\exp(2x+1)}{\exp(x+2)} = f(x)

On peut aussi écrire \forall x \in \mathbb{R} :
f'(x) = \exp(2x+1)\exp(-x-2)
f'(x) = \exp(2x+1 - x - 2)
f'(x) = \exp(x-1)

 

Deuxième méthode :

Grâce aux propriétés de l'exponentielle (les quotients d'exponentielles sont transformés en exponentielles de différences), on a :
\forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) = \exp(2x + 1 - (x + 2)) = \exp(x - 1)

D'où :
\forall x \in \mathbb{R} \quad f'(x) = 1 \times \exp(x - 1) = \exp(x -1)

On retrouve bien le même résultat.

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = \dfrac{1+x^2}{ \exp(-2x + 1)}

On pose g(x)=\exp(x).

On a :

• g est la fonction exponentielle, donc dérivable pour \forall x \in \mathbb{R} ;
• -2x+1 est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.

 

D'où :
\forall x \in \mathbb{R} , g'(-2x+1)=-2\exp(-2x+1)

f est le quotient de deux fonctions composées dérivables sur \mathbb{R} et dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et on obtient pour tout nombre réel x :
f'(x) = \dfrac{2x \times \exp(-2x + 1) - (1 + x^2) \times (-2 \exp(-2x + 1)) }{\exp(-2x +1)^2} 
f'(x) = \dfrac{(2x + 2 + 2x^2) \exp(-2x + 1) }{\exp(-2x +1)^2} 
f'(x) = 2 \dfrac{(x + 1 + x^2) }{\exp(-2x +1)} 

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R},  f(x) = \dfrac{\exp(3x-4)}{ \sqrt{x} }

On pose g(x)=\exp(x).

On a :

• g est la fonction exponentielle, donc dérivable pour \forall x \in \mathbb{R} ;
• 3x-4 est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.

 

D'où :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(3x-4)=3\exp(3x-4)

f est le quotient de deux fonctions composées dérivables sur \mathbb{R} et dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et on obtient pour tout nombre réel x :
f'(x) = \dfrac{3\exp(3x-4) \times \sqrt{x}- \exp(3x-4) \times  \dfrac{1}{2\sqrt{x}} }{(\sqrt{x})^2} 
f'(x) = \dfrac{ \exp(3x-4) \left( 3\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{x} 
f'(x) = \dfrac{ \exp(3x-4) \left( \dfrac{6x}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right) }{x} 
f'(x) = \dfrac{ \exp(3x-4) \dfrac{6x - 1}{2\sqrt{x}} }{x} 
f'(x) = \dfrac{ \exp(3x-4) (6x - 1) }{2x \sqrt{x}} 

Soient g une fonction dérivable sur un intervalle J de \mathbb{R}, a et b deux nombres réels. Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que pour tout x\in I, ax+b\in J. Alors la fonction f:x\mapsto g(ax+b) est dérivable sur I.

Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{x^2}{ \exp(x - 3)}

On pose g(x)=\exp(x).

On a :

• g est la fonction exponentielle, donc dérivable pour \forall x \in \mathbb{R} ;
• x-3 est une fonction affine dérivable sur \mathbb{R}.

 

D'où :
\forall x \in \mathbb{R}, g'(x-3)=\exp(x-3)

f est le quotient de deux fonctions composées dérivables sur \mathbb{R} et dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et on obtient pour tout nombre réel x :
f'(x) = \dfrac{2x \times \exp(x - 3) -x^2 \times \exp(x-3)}{\exp(x-3)^2} 
f'(x) = \dfrac{(2x - x^2) \exp(x-3)}{\exp(x-3)^2} 
f'(x) = \dfrac{(2x - x^2) }{\exp(x-3)}