Dans chacun des cas suivants, déterminer à quelle égalité sans exponentielle est équivalente l'inégalité donnée.
\exp(x^2 + 3x) \leqslant \exp(-10)
D'après le cours, pour tous réels a et b :
a\leqslant b \Leftrightarrow e^a\leqslant e^b
Ainsi, \exp(x^2 + 3x) \leqslant \exp(-10) \Leftrightarrow x^2 + 3x \leqslant -10 .
\exp(x^2) \geqslant \exp(-x + 12)
D'après le cours, pour tous réels a et b :
a\leqslant b \Leftrightarrow e^a\leqslant e^b
Ici, on a donc :
\exp(x^2) \geqslant \exp(-x + 12) \Leftrightarrow x^2 \geqslant -x + 12
\exp(x^2) \geqslant \exp(-x + 12) \Leftrightarrow x^2 + x - 12 \geqslant 0
Ainsi, \exp(x^2) \geqslant \exp(-x + 12) \Leftrightarrow x^2 + x - 12 \geqslant 0 .
\exp(x^2) \geqslant \exp(2x - 1)
D'après le cours, pour tous réels a et b :
a\leqslant b \Leftrightarrow e^a\leqslant e^b
Ici, on a donc :
\exp(x^2) \geqslant \exp(2x - 1) \Leftrightarrow x^2 \geqslant 2x-1
\exp(x^2) \geqslant \exp(2x - 1) \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 \geqslant 0
\exp(x^2) \geqslant \exp(2x - 1) \Leftrightarrow (x-1)^2 \geqslant 0
Ainsi, \exp(x^2) >= \exp(2x - 1) \Leftrightarrow (x-1)^2 \geqslant 0 .
\exp(2x) \leqslant \exp(x + 1)
D'après le cours, pour tous réels a et b :
a\leqslant b \Leftrightarrow e^a\leqslant e^b
Ici, on a donc :
\exp(2x) \leqslant \exp(x+1) \Leftrightarrow 2x \leqslant x+1
\exp(2x) \leqslant \exp(x+1) \Leftrightarrow x \leqslant 1
Ainsi, \text{exp}(2x) \leqslant exp(x+1) \Leftrightarrow x\leqslant 1.
\exp(2x) > e
D'après le cours, pour tous réels a et b :
a\leqslant b \Leftrightarrow e^a\leqslant e^b
Ici, on a donc :
\exp(2x) > exp(1) \Leftrightarrow 2x > 1
Ainsi, \exp(2x) = e \Leftrightarrow 2x > 1 .