Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{x}{\exp(x)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f =\dfrac{u}{v} est dérivable en tout point x \in I tel que v(x) soit non nul, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = x
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(-x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = 1 .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
Par ailleurs, v ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{1 \exp(x) - x \exp(x)}{ \exp(x)^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \exp(x) \dfrac{1 - x }{ \exp(x)^2}
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{1 - x }{ \exp(x)} .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{\exp(x)}{1 + \exp(x)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f =\dfrac{u}{v} est dérivable en tout point x \in I tel que v(x) soit non nul, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = \exp(x)
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = 1+\exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = \exp(x) .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x) .
Par ailleurs, v ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{\exp(x) \times (1+ \exp(x)) - \exp(x) \times \exp(x)}{ (1+\exp(x))^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{\exp(x)}{ (1+\exp(x))^2}
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{\exp(x)}{ (1+\exp(x))^2} .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1+\exp(x)}{\exp(x)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}, alors la fonction f =\dfrac{u}{v} est dérivable en tout point x \in I tel que v(x) soit non nul, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 1 + \exp(x)
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = \exp(x)
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = \exp(x)
Par ailleurs, v ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{\exp(x) \times \exp(x) - (1 + \exp(x)) \times \exp(x)}{ \exp(x)^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{-\exp(x)}{ \exp(x)^2}
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =- \dfrac{1}{ \exp(x)} .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1-\exp(x)}{\exp(-x)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f =\dfrac{u}{v} est dérivable en tout point x \in I tel que v(x) soit non nul, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 1 - \exp(x)
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = \exp(-x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = -\exp(x) .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = -\exp(-x) .
Par ailleurs, v ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{-\exp(x) \times \exp(-x) - (1 - \exp(x)) \times ( -\exp(-x)) }{ \exp(-x)^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{-1 + \exp(-x) - 1 }{ \exp(-x)^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{-2 + \exp(-x) }{ \exp(-x)^2}
En remarquant que \exp(-x)^2 = \exp(-x) \times \exp(-x) = \exp(-2x), on peut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par \exp(2x) , pour obtenir :
\forall x \in \mathbb{R} \quad f'(x) = \dfrac{\exp(2x) \times ( -2 + \exp(-x))}{\exp(2x) \times \exp(-2x)}
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = -2 \exp(2x) + \exp(x) .
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{1-\exp(-x)}{1-\exp(x)}
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I \in \mathbb{R}. Alors la fonction f =\dfrac{u}{v} est dérivable en tout point x \in I tel que v(x) soit non nul, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
On pose :
- \forall x \in \mathbb{R}, u(x) = 1 - \exp(-x)
- \forall x \in \mathbb{R}, v(x) = 1-\exp(x)
On a :
- u est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, u'(x) = \exp(-x) .
- v est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x \in \mathbb{R}, v'(x) = -\exp(x) .
Par ailleurs, v ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \dfrac{\exp(-x) \times (1-\exp(x)) - ( 1 - \exp(-x)) \times (-\exp(x)) }{ (1-\exp(x))^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =\dfrac{\exp(-x) - 1 + \exp(x) - 1}{ (1-\exp(x))^2}
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =\dfrac{\exp(x) + \exp(-x) - 2}{ (1-\exp(x))^2}
Il y a ici une astuce de calcul. On peut en effet forcer la factorisation du numérateur par \exp(-x).
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =\dfrac{\exp(-x) \left(\exp(2x) + 1 - 2\exp(x)\right) }{ (1-\exp(x))^2}
On peut ensuite remarquer l'identité remarquable du type a^2 + 1 - 2a = (1 - a)^2 , ici pour a = \exp(x) :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =\dfrac{\exp(-x) (1 - \exp(x))^2 }{ (1-\exp(x))^2}
Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \exp(-x) .