Soient deux fonctions f et g dérivables sur \mathbb{R} deux fonctions telles que :
f(0) = g(0) = 1
f(x)=f'(x)
g(x) = g'(x)
L'objectif de ce problème sera de prouver que f=g, c'est-à-dire de démontrer l'unicité d'une fonction qui satisfait les conditions f=f' et f(0)=1.
Quelle est la valeur de \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' ?
Il faut utiliser la formule de dérivation d'un quotient de fonctions dérivables :
\left( \dfrac{f(x)}{g(x)}\right) ' = \dfrac{f(x)g'(x) - f'(x)g(x)}{g^2(x)}
Par hypothèse :
f=f' et g=g'
Donc :
\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) ' = \dfrac{f(x)g(x) - f(x)g(x) }{g^2(x)} = 0
Finalement, on a :
\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) ' = 0
Quelle est la nature de la fonction \dfrac{f}{g} ?
Comme il a été prouvé à la question précédente :
\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = 0
D'après le cours :
Une fonction dont la dérivée est nulle est une fonction constante.
\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) est donc une fonction constante.
Que peut-on en déduire pour les fonctions f et g ?
On a prouvé que \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' est une fonction constante.
Donc :
\forall x \in \mathbb{R} \: \dfrac{f(x)}{g(x)} = a
On utilise alors la seconde hypothèse f(0) = g(0) = 1 :
\dfrac{f(0)}{g(0)} = \dfrac{1}{1} = 1
Donc a=1, c'est-à-dire \forall x \in \mathbb{R} \: \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1.
En multipliant par g(x) les deux côtés de l'équation, on obtient finalement :
\forall x \in \mathbb{R} \: f(x)=g(x)
Les fonctions f et g sont égales.
Il existe donc une seule fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que :
f=f'
f(0)=1