Soit f la fonction exponentielle, l'unique fonction dérivable sur \mathbb{R} qui vérifie :
f'=f
f(0)=1
L'objectif de cet exercice est de réussir à calculer la valeur de f(x) en utilisant simplement ces deux informations.
En utilisant la formule d'expression de la dérivée en fonction du taux de variation, quelle est une valeur approchée de f(x+h) où h est un réel proche de 0 ?
La définition de la fonction dérivée stipule que la dérivée de f en x est la limite du taux de variation, ou encore :
f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x) }{h}
Or, dans le cas étudié, on a :
f=f'
Cela signifie donc que :
f(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x) }{h}
On peut donc faire l'approximation :
f(x) \simeq \dfrac{f(x+h) - f(x) }{h} .
Plus h est proche de 0, meilleure est l'approximation.
En isolant f(x+h), on obtient :
f(x+h) \simeq hf(x) + f(x) = (1+h)f(x)
L'approximation de f(x+h) pour un réel h proche de 0 est donc :
f(x+h) \simeq hf(x) + f(x) = (1+h)f(x)
Quelle est la valeur de f(h) ?
Pour trouver une approximation de la valeur de f(h), on utilise le résultat de la question précédente en posant x=0 :
f(0+h) \simeq f(0)\times (1+h)
Par hypothèse :
f(0)=1
Une valeur approchée de f(h) est donc :
f(h) \simeq 1+h
En raisonnant par itération sur la valeur de x, quelle est une valeur approchée de f(nh) ?
D'après la question 1 :
f(x+h)\simeq 1+h)
Donc :
- Pour \(x=h, f(h+h) =f(2h) \simeq (1+h)f(h) = (1+h)^2.
- Pour x=2h, f(2h+h) =f(3h) \simeq (1+h)^2f(h) = (1+h)^3.
Ainsi, en répétant l'opération n fois, on obtient :
\forall n entier f(nh) \simeq (1+h)^n
Une valeur approchée de f(nh) est donc :
f(nh)=(1+h)^n
Quelle est une valeur approchée de f(x) ?
Pour calculer une valeur particulière de f(x), il suffit désormais d'utiliser les résultats obtenus à la question précédente. Si x est un nombre réel quelconque et n un entier naturel, on pose h=\dfrac{x}{n} pour avoir x=nh.
Avec le résultat précédent :
f(x) = f(nh) \simeq (1+h)^n
Donc :
f(x) \simeq \left(1+\dfrac{x}{n} \right)^n
Remarque : plus h est proche de 0, meilleure est l'approximation. Donc plus n est grand, meilleure est l'approximation.
À l'aide de la calculatrice, quelle est une valeur approchée de f(1) ?
Pour trouver une approximation la plus proche possible de la vraie valeur de f(1), il faut utiliser n le plus grand possible dans le résultat de la question précédente :
- Pour n=10, f(1) = \left( 1 + \dfrac{1}{10}\right)^{10} \simeq 2{,}594 .
- Pour n=100, f(1) = \left( 1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} \simeq 2{,}705.
- Pour n=\text{1 000}, f(1) = \left( 1 + \dfrac{1}{\text{1 000}}\right)^{\text{1 000}} \simeq 2{,}717.
- Pour n=\text{10 000}, f(1) = \left( 1 + \dfrac{1}{\text{10 000}}\right)^{\text{10 000}} \simeq 2{,}718.
Une valeur approchée de f(1) est donc :
f(1) \simeq 2{,}718