Les profits d'une entreprise sont multipliés chaque année par exp(5). Lors de sa première année d'existence, l'entreprise génère un profit de 100.
On note u_n les profits de l'entreprise à l'année n.
Quelle est l'expression de u_{n+1} en fonction de u_n ?
Chaque année, l'entreprise multiplie ses profits par exp(5).
Ainsi, en appelant u_n le profit généré durant l'année n, le profit de l'année n+1 représente celui de l'année n multiplié par exp(5).
Le profit à l'année n+1 est donc :
u_{n+1} = exp(5) \times u_n
Quelle est l'expression générale de u_n ? Préciser la raison et le premier terme de cette suite.
D'après la question précédente on a :
u_{n+1} = exp(5) \times u_n
On reconnaît ici une suite géométrique de la forme u_{n+1} = q \times u_n avec q = exp(5).
u_n étant une suite géométrique, on peut calculer directement son expression générale :
u_n = u_0 q^n = 100 \times (exp(5))^n
Les règles de calcul de la fonction exponentielle donnent :
exp(a)^b = exp(a\times b)
L'expression générale de la suite u_n est donc :
u_n = 100 \times exp(5n)
Quel est le sens de variation de la suite u_n ?
Pour trouver le sens de variation d'une suite, il est possible d'utiliser différentes méthodes :
- Trouver le signe de u_{n+1} - u_n.
- Comparer \dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1.
Dans le cas des suites de type géométrique et arithmétique, la raison et le premier terme des suites permettent de déterminer le sens de variation.
Ici :
- u_0 > 0
- q = exp(5) > 1
La suite u_n est donc une suite croissante.
Combien d'années faudra-t-il à l'entreprise pour générer un profit supérieur à 100 000 000 € ?
Il s'agit ici de résoudre l'inéquation :
u_n > \text{100 000 000}
\Leftrightarrow 100exp(5n) >\text{100 000 000}
\Leftrightarrow 0> exp(5n) > \text{1 000 000} (division par 100>0)
\Leftrightarrow 5n > ln(\text{1 000 000}) (on applique la fonction croissante ln())
\Leftrightarrow n>\dfrac{ln(\text{1 000 000})}{5}
En utilisant la calculatrice, on obtient :
n>2{,}76
On arrondit à l'entier directement supérieur, c'est-à-dire n=3.
Ainsi, à partir de la troisième année, l'entreprise générera un profit supérieur à 100 000 000 €.