Soit f(x) = \cos(x+4) + \sin(2x), \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \cos(u(x)) + \sin(v(x)) .
En posant :
u(x) = x + 4
et
v(x) = 2x
On a :
f'(x) = -u'(x) \sin(u(x)) + v'(x) \cos(v(x))
Or :
u'(x) = (x+4)' = 1
et
v'(x) = (2x)' = 2
Donc f'(x) = -\sin(x+4) + 2 \cos(2x) .
Soit f(x) = \cos(-x) + \sin(2x^2), \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \cos(u(x)) + \sin(v(x)) .
En posant :
u(x) = -x
et
v(x) = 2x^2
On a :
f'(x) = -u'(x) \sin(u(x)) + v'(x) \cos(v(x))
Or :
u'(x) = (-x)' = -1
et
v'(x) = (2x^2)' = 4x
Ainsi :
f'(x) = - (-1) \sin(-x) + 4x \cos(2x^2)
Donc f'(x) = \sin(-x) + 4x \cos(2x^2) .
Soit f(x) = \cos\left( 2x^3 + 1\right) + 2 \sin\left(-\dfrac{1}{x}\right), \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \cos(u(x)) + 2 \sin(v(x)) .
En posant :
u(x) = 2x^3 + 1
et
v(x) =- \dfrac{1}{x}
On a :
f'(x) = -u'(x) \sin(u(x)) + 2 v'(x) \cos(v(x))
Or :
u'(x) = (2x^3+1)' = 6x^2
et
v'(x) = \left(- \dfrac{1}{x} \right)' = \dfrac{1}{x^2}
Ainsi :
f'(x) = - 6x^2 \sin(2x^3 + 1) + 2 \dfrac{1}{x^2} \cos\left( -\dfrac{1}{x} \right)
Donc f'(x) = - 6x^2 \sin(2x^3 + 1) + \dfrac{2 \cos\left( -\dfrac{1}{x} \right)}{x^2} .
Soit f(x) = 3 \cos(x^2) + \sin\left( x^3 + 1\right), \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = 3 \cos(u(x)) + \sin(v(x)) .
En posant :
u(x) = x^2
et
v(x) = x^3 + 1
On a :
f'(x) = -u'(x) \sin(u(x)) + v'(x) \cos(v(x))
Or :
u'(x) = (x^2)' = 2x
et
v'(x) = (x^3 + 1) = 3x^2
Donc f'(x) = - 6x \sin(x^2) + 3x^2 \cos(x^3 + 1) .
Soit f(x) = \cos\left(\sqrt{x}\right) + \sin\left(\sqrt{x}\right), \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \cos(u(x)) + \sin(v(x)) .
En posant :
u(x) = \sqrt{x}
et
v(x) = \sqrt{x}
On a :
f'(x) = -u'(x) \sin(u(x)) + v'(x) \cos(v(x))
Or :
u'(x) = \left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
et
v'(x) = \left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi :
f'(x) = - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \sin(\sqrt{x}) + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cos(\sqrt{x})
Donc f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ( - \sin(\sqrt{x}) + \cos(\sqrt{x})) .