On souhaite étudier les variations de la fonction f(x) = \sin(x) \cos(x) sur [0; 2\pi[
Pourquoi peut-on étudier les variations de f sur [0; 2\pi[ ?
On a, pour x \in \mathbb{R} :
f(x + \pi) = \sin(x + \pi)\cos(x + \pi)
Or :
\sin(x + \pi) = -\sin(x)
et
\cos(x+\pi) = -\cos(x)
Donc :
f(x + \pi) = (-\sin(x))(-\cos(x)) = \sin(x)\cos(x)
f(x+\pi) = f(x)
On en déduit que f est \pi -périodique.
Que peut-on dire de \sin(x)\cos(x) pour tout x dans \mathbb{R} ?
Pour tout x,y \in \mathbb{R} , on a :
\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)
Donc :
\sin(x+x) = \sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x) = 2 \cos(x) \sin(x)
Ainsi, \dfrac{1}{2} \sin(2x) = \cos(x) \sin(x) .
Quelle est la dérivée de f(x) = \sin(x)\cos(x) sur [0; \pi[ ?
On a :
f(x) = \sin(x) \cos(x) = \dfrac{1}{2} \sin(2x)
Donc :
f'(x) = \left( \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right)' = 2 \times \dfrac{1}{2} \cos(2x)
Ainsi, f'(x) = \cos(2x) .
Quelles sont les variations de f sur [0; \pi[ ?
Pour connaître les extrema de f , on étudie ses variations.
Pour cela, on regarde le signe de la dérivée :
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow \cos(2x) \leq 0
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow 2x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2} \right]
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[ \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}\right]
Ainsi, f est croissante sur \left[0; \dfrac{\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \pi \right[ et décroissante sur \left[ \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4}\right] .