Résoudre une équation trigonométrique du type sin(ax+b)=y Exercice

On remarque que :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow \sin \left(2x \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a =2 x et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x+\dfrac{\pi}{2} et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x+\dfrac{\pi}{2}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = x-\dfrac{\pi}{2} et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x-\dfrac{\pi}{2}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\begin{cases} x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{5\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :

\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow \sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

D'après le cours, on sait que :

\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = 2x-\dfrac{\pi}{6} et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :

\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x-\dfrac{\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

On remarque que :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \sin \left(2x \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

Ici, en posant a = 2x et b = \dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\sin \left(2x\right) =\dfrac{\sqrt2}{2}

\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr2 x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}