On souhaite trouver le minimum de la fonction f(x) = \sin(3x) sur \left[0; \dfrac{2\pi}{3} \right[ .
Pourquoi peut-on étudier les variations de f sur \left[0; \dfrac{2\pi}{3} \right[ ?
On a, pour x \in \mathbb{R} :
f \left(x + \dfrac{2\pi}{3} \right) = \sin\left(3\left(x + \dfrac{2\pi}{3} \right) \right)
f\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(3x + 3\dfrac{2\pi}{3} \right)
f\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(3x +2\pi \right)
f\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(3x\right)= f(x)
Donc f est \dfrac{2\pi}{3} -périodique.
Quelle est la dérivée de f ?
On a, pour x \in \mathbb{R} :
f'(x) = \left( \sin(3x) \right)' = 3 \cos(3x)
Donc f'(x) = 3 \cos(3x) .
Quelles sont les variations de f sur \left[ 0;\dfrac{2\pi}{3} \right] ?
Pour connaître les extrema de f , on étudie ses variations.
Pour cela, on regarde le signe de la dérivée :
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow 3\cos(3x) \leq 0
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow \cos(3x) \leq 0
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow 3x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2} \right]
f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{2}\right]
Ainsi, f est croissante sur \left[0; \dfrac{\pi}{6} \right] \cup \left[ \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{2\pi}{3} \right] et décroissante sur \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{2}\right] .