Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = \cos(x)-1+\dfrac{x^2}{2}
Quelle est la dérivée seconde de f ?
f est une somme de fonctions qui sont dérivables sur \mathbb{R} donc f est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in \mathbb{R} :
f'(x)=-\sin(x)+\dfrac{2x}{2}=-\sin(x)+x
f' est une somme de deux fonctions dérivables sur \mathbb{R} donc f' est dérivable sur \mathbb{R}.
On dérive donc f'.
Ainsi, la dérivée seconde de f est la fonction f'' définie sur \mathbb{R} par f''(x) = -\cos(x)+1.
Par déduction, quel est le signe de f'' sur \mathbb{R} ?
D'après la question précédente, on a pour tout x \: \in \: \mathbb{R} :
f''(x)=-\cos(x)+1
D'après le cours, on sait que pour tout x\: \in \: \mathbb{R} :
\cos(x) \: \in \: [-1;1]
Donc :
\cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow -\cos(x) \geq -1 \Leftrightarrow -\cos(x)+1\geq 0
Ainsi, pour tout x \: \in \: \mathbb{R} :
f''(x) \geq 0
Ainsi, f'' est positive sur \mathbb{R}.
Par déduction, quel est le signe de f' sur \mathbb{R} ?
D'après la question précédente :
f''(x) \geq 0 sur \mathbb{R} et f''(x)=0\Leftrightarrow x=2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Comme f'' est la dérivée de f', on peut en déduire les variations de f' :
f' est strictement croissante sur \mathbb{R}.
De plus, comme -1 \leq \sin(x) \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq -\sin(x) \leq 1 \Leftrightarrow -1+x \leq f'(x) \leq 1+x .
Or :
\lim \limits_{x \to -\infty} (1+x)= -\infty et \lim \limits_{x \to +\infty}(-1+x) =+\infty
D'après le théorème de comparaison à l'infini, on a :
\lim \limits_{x \to -\infty} f(x)= -\infty et \lim \limits_{x \to +\infty}f(x) =+\infty
Avec ces informations, on peut déduire grâce au théorème des valeurs intermédiaires, sachant que f' est continue sur \mathbb{R} que l'équation f'(x) = 0 admet une unique solution sur \mathbb{R}.
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=\sin(x)
De plus, on sait que \sin(0)=0 donc f'(0)=0.
0 est l'unique solution de l'équation f'(x)=0.
Finalement, comme f' est strictement croissante sur \mathbb{R} et f'(0)=0 :
- f' est positive sur \mathbb{R}_+.
- f' est négative sur \mathbb{R}_-.
Quel est le signe de f sur \mathbb{R} ?
On peut déduire du signe de f' déterminé à la question précédente les variations de f' :
- f est décroissante sur \mathbb{R}_-.
- f est croissante sur \mathbb{R}_+.
Ainsi, f admet un minimum en 0.
f(0)=\cos(0)-1+\dfrac{0^2}{2} =1-1+0=0
f admet un minimum global sur \mathbb{R} atteint en x=0 et qui vaut f(0)=0.
Donc pour tout x\: \in \: \mathbb{R} f(x) \geq f(0) = 0 .
f est donc positive sur \mathbb{R}.