Dans chacun des cas suivants, résoudre l'inéquation trigonométrique sur \mathbb{R}.
\cos\left(x\right) \geq \dfrac{1}{2}
La fonction cosinus est une fonction paire.
Pour résoudre l'inéquation sur \mathbb{R}, on commence par déterminer l'ensemble S_0 des solutions de l'inéquation trigonométrique sur l'intervalle réduit \left[ 0 ; 2\pi \right] ou \left[-\pi ; \pi \right] avant de généraliser sur \mathbb{R}.
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right]
On sait que :
\dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ -\pi; \pi\right], on représente le cercle trigonométrique renseignant les angles déterminés ci-dessus :
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\dfrac{\pi}{3}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{\pi}{3}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_0 = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right]
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R}
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_0 = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme \left[-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{3}+k2\pi \right], k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions sur \mathbb{R} est donc :
S=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{3}+k2\pi \right]
\cos\left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt3}{2}
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[0; 2\pi \right]
On sait que :
\dfrac{\sqrt 3}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)
On sait qu'une autre mesure d'un angle de mesure -\dfrac{\pi}{6} est -\dfrac{\pi}{6} +2\pi = \dfrac{11\pi}{6}.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on représente le cercle trigonométrique en renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels x tels que \cos\left(x\right) \leq \dfrac{\sqrt3}{2}.
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_0 = \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{11\pi}{6} \right]
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R}
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_0 = \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{11\pi}{6} \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est l'union des ensembles de la forme
\left[ \dfrac{\pi}{6}+ k2\pi ;\dfrac{11\pi}{6}+ k2\pi\right], k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions sur \mathbb{R} est :
S =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[ \dfrac{\pi}{6}+ k2\pi ;\dfrac{11\pi}{6}+ k2\pi\right]
\cos\left(x\right) \geq \dfrac{\sqrt2}{2}
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right]
On sait que :
\dfrac{\sqrt 2}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ -\pi; \pi\right], on représente le cercle trigonométrique en renseignant les angles déterminés ci-dessus :
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\dfrac{\pi}{4}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{\pi}{4}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_0 = \left[-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{4} \right]
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R}
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_0 = \left[-\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{4} \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme S_0 = \left[-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \right], k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est :
S= \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi; \dfrac{\pi}{4}+k2\pi \right]
\cos\left(x\right) \gt 0
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right]
On sait que :
0 = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\dfrac{\pi}{2}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{\pi}{2}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_0 = \left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right[
Recherche de l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R}
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_0 = \left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right[
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme S_0 = \left]-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{2}+k2\pi \right[, k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est donc :
S =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left]-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ; \dfrac{\pi}{2}+k2\pi \right[
\cos\left(x\right) \leq -\dfrac{\sqrt2}{2}
On sait que :
-\dfrac{\sqrt2}{2}= \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)
On sait qu'une autre mesure d'un angle de mesure -\dfrac{3\pi}{4} est -\dfrac{3\pi}{4} +2\pi = \dfrac{5\pi}{4}.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels tels que \cos\left(x\right) \leq -\dfrac{\sqrt2}{2}.
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_0 = \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4} \right]
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_0 = \left[ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4} \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme
\left[\dfrac{3\pi}{4}+ k2\pi ; \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi\right], k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est donc :
S =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[\dfrac{3\pi}{4}+ k2\pi ; \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi\right]
\cos\left(x\right) \geq -\dfrac{\sqrt3}{2}
On sait que :
-\dfrac{\sqrt3}{2}= \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ -\pi; \pi\right], on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
Sur \left[-\pi ; \pi \right] :
- On part de -\dfrac{5\pi}{6}, première solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
- On va jusqu'en \dfrac{5\pi}{6}, dernière solution de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_0 = \left[-\dfrac{5\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6} \right]
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_0 = \left[ 0 ; \dfrac{5\pi}{6} \right] \cup\left[ \dfrac{7\pi}{6}; 2\pi \right]
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme \left[-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi ; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \right], k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est :
S = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi ; \dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \right]
\cos\left(x\right) \lt -\dfrac{1}{2}
On sait que :
-\dfrac{1}{2}= \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)
On sait qu'une autre mesure d'un angle de mesure -\dfrac{2\pi}{3} est -\dfrac{2\pi}{3} +2\pi = \dfrac{4\pi}{3}.
Afin de résoudre l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi\right], on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On a ainsi identifié l'ensemble des points du cercle qui correspondent aux réels x tels que \cos\left(x\right) \lt -\dfrac{1}{2}.
L'ensemble des solutions S_0 de l'inéquation sur \left[ 0; 2\pi \right] est donc :
S_0 = \left] \dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3} \right[
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ 0 ; 2\pi \right] est :
S_0 = \left]\dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3} \right[
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est la réunion des intervalles de la forme \left] \dfrac{2\pi}{3}+ k2\pi ; \dfrac{4\pi}{3}+k2\pi \right[, k\in\mathbb{Z}.
L'ensemble S des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est donc :
S =\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left] \dfrac{2\pi}{3}+ k2\pi ; \dfrac{4\pi}{3}+k2\pi \right[
\cos\left(x\right) \geq 1
On sait que 1 = \cos\left(0\right)=\cos\left(2\pi\right).
Afin de résoudre l'équation sur \left[ -\pi; \pi\right], on représente le cercle trigonométrique en y renseignant les angles déterminés ci-dessus :
On remarque que 0 appartient aussi à l'intervalle \left[ -\pi ; \pi \right].
L'ensemble des solutions S_0 de l'équation sur \left[-\pi ; \pi \right] est donc :
S_0 =\left\{ 0 \right\}
On sait que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \left[ -\pi ; \pi \right] est :
S_0 = \left\{ 0 \right\}
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est :
\left\{0 + k2\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}
L'ensemble S des solutions de l'inéquation sur \mathbb{R} est donc :
S=\left\{0 + k2\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}