Quel est l'ensemble de solutions de l'équation suivante ?
\text{cos}(x-\dfrac{\pi}{3}) \geq \dfrac{1}{2} dans \left]-\pi ; \pi\right]
Pour résoudre cette inéquation trigonométrique, il faut commencer par trouver les solutions de l'équation : \text{cos}(x) =\dfrac{1}{2} .
Par lecture du cercle trigonométrique, les solutions de cette équation sont :
\text{cos}(x) =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \in \left\{ -\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right\}
On cherche ici les points dont le cosinus est supérieur ou égal à \dfrac{1}{2}. Donc, d'après ce qui précède et par lecture du cercle trigonométrique, les nombres dont le point-image sur le cercle a une abscisse supérieure ou égale à \dfrac{1}{2} vérifient :
-\dfrac{\pi}{3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} sur \left]-\pi ; \pi\right]
En remplaçant x par x - \dfrac{\pi}{3} et on peut résoudre l'inéquation :
-\dfrac{\pi}{3} \leq x -\dfrac{\pi}{3} \leq \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \dfrac{2\pi}{3}
L'ensemble de solutions S de l'équation \text{cos}(x-\dfrac{\pi}{3}) \geq \dfrac{1}{2} dans \left]-\pi ; \pi\right] est donc :
S= \left[0 ; \dfrac{2\pi}{3} \right]
Quel est l'ensemble de solutions de l'équation suivante ?
\text{cos}(2x+\dfrac{\pi}{2}) \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} dans \left]-\pi ; \pi\right]
Pour résoudre cette inéquation trigonométrique, il faut commencer par trouver les solutions de l'équation :
\text{cos}(x) =\dfrac{\sqrt{3}}{2} .
Par lecture du cercle trigonométrique, les solutions de cette équation sont :
\text{cos}(x) =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x \in \left\{ -\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{6} \right\}
On cherche ici les points dont le cosinus est supérieur ou égal à \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Donc, d'après ce qui précède et par lecture du cercle trigonométrique, les nombres dont le point-image sur le cercle a une abscisse supérieure ou égale à \dfrac{\sqrt{3}}{2} vérifient :
-\dfrac{\pi}{6} \leq x \leq \dfrac{\pi}{6} sur \left]-\pi ; \pi\right]
En remplaçant x par 2x + \dfrac{\pi}{2} , on peut résoudre l'inéquation :
-\dfrac{\pi}{6} \leq 2x +\dfrac{\pi}{2} \leq \dfrac{\pi}{6} \Leftrightarrow -\dfrac{2\pi}{3} \leq 2x \leq -\dfrac{2\pi}{6} \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{3}\leq x \leq -\dfrac{\pi}{6}
L'ensemble de solutions S de l'équation \text{cos}(2x+\dfrac{\pi}{2}) \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} dans \left]-\pi ; \pi\right] est donc :
S= \left[-\dfrac{\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{6} \right]
Quel est l'ensemble de solutions de l'équation suivante ?
\text{sin}(x+\dfrac{\pi}{4}) \leq \dfrac{-\sqrt{3}}{2} dans \left]0; 2\pi\right]
Pour résoudre cette inéquation trigonométrique, il faut commencer par trouver les solutions de l'équation :
\text{sin}(x) =\dfrac{-\sqrt{3}}{2}
Par lecture du cercle trigonométrique les solutions de cette équation sont :
\text{sin}(x) =\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x \in \left\{ \dfrac{4\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{3} \right\}
On cherche ici les points dont le sinus est inférieur ou égal à \dfrac{-\sqrt{3}}{2}. Donc, d'après ce qui précède et par lecture du cercle trigonométrique, les nombres dont le point-image sur le cercle a une ordonnée inférieure ou égale à -\dfrac{\sqrt{3}}{2} vérifient :
\dfrac{4\pi}{3} \leq x \leq \dfrac{5\pi}{3} sur \left]0 ; 2\pi\right]
En remplaçant x par x + \dfrac{\pi}{4} , on peut résoudre l'inéquation :
\dfrac{4\pi}{3} \leq x + \dfrac{\pi}{4} \leq \dfrac{5\pi}{3} \Leftrightarrow \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{5\pi}{3}- \dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow \dfrac{13\pi}{12} \leq x \leq \dfrac{17\pi}{12}
L'ensemble de solutions S de l'équation \text{sin}(x+\dfrac{\pi}{4}) \leq \dfrac{-\sqrt{3}}{2} dans \left]0; 2\pi\right] est donc :
S= \left[ \dfrac{13\pi}{12}; \dfrac{17\pi}{12} \right]
Quel est l'ensemble de solutions de l'équation suivante ?
\text{cos}(-2x+\dfrac{3\pi}{4}) \leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2} dans \left]0 ; 2\pi\right]
Pour résoudre cette inéquation trigonométrique, il faut commencer par trouver les solutions de l'équation :
\text{cos}(x) =-\dfrac{\sqrt{2}}{2} dans ]0;2\pi ]
Par lecture du cercle trigonométrique, les solutions de cette équation sont :
\text{cos}(x) =-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x \in \left\{ \dfrac{3\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4} \right\}
On cherche ici les points dont le cosinus est supérieur ou égal à -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Donc, d'après ce qui précède et par lecture du cercle trigonométrique, les nombres dont le point-image sur le cercle a une abscisse inférieure ou égale à -\dfrac{\sqrt{2}}{2} vérifient :
\dfrac{3\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{5\pi}{4} sur \left]0 ; 2\pi\right]
En remplaçant x par -2x + \dfrac{3\pi}{4} , on peut résoudre l'inéquation :
\dfrac{3\pi}{4} \leq -2x + \dfrac{3\pi}{4} \leq \dfrac{5\pi}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{4} \leq -2x \leq \dfrac{5\pi}{4}- \dfrac{3\pi}{4} \Leftrightarrow 0 \leq -2x \leq \dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq 0
L'ensemble de solutions S de l'équation \text{cos}(-2x+\dfrac{3\pi}{4}) \leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2} dans \left]0 ; 2\pi\right] est donc :S= \left[-\dfrac{\pi}{4} ; 0 \right[
Quel est l'ensemble de solutions de l'équation suivante ?
\text{sin}(-2x+\dfrac{2\pi}{3}) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} dans \left]-\pi ; \pi\right]
Pour résoudre cette inéquation trigonométrique, il faut commencer par trouver les solutions de l'équation :
\text{sin}(x) =\dfrac{\sqrt{2}}{2} .
Par lecture du cercle trigonométrique, les solutions de cette équation sont :
\text{sin}(x) =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x \in \left\{ \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{3\pi}{4} \right\}
On cherche ici les points dont le sinus est inférieur ou égal à \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Donc, d'après ce qui précède et par lecture du cercle trigonométrique, les nombres dont le point-image sur le cercle a une ordonnée supérieure ou égale à \dfrac{\sqrt{2}}{2} vérifient :
x \leq \dfrac{\pi}{4} ou x \geq \dfrac{3\pi}{4} sur \left]-\pi ; \pi\right]
En remplaçant x par -2x + \dfrac{2\pi}{3} , on peut résoudre les inéquations dans \left]-\pi ; \pi\right] :
-2x + \dfrac{2\pi}{3} \leq \dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow -2x \leq \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{2\pi}{3} \Leftrightarrow -2x \leq \dfrac{-5\pi}{12} \Leftrightarrow x \geq \dfrac{5\pi}{24}, car on divise par un nombre strictement negatif.
Ou
-2x + \dfrac{2\pi}{3} \geq \dfrac{3\pi}{4} \Leftrightarrow -2x \geq \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{2\pi}{3} \Leftrightarrow -2x \geq \dfrac{\pi}{12} \Leftrightarrow x \leq \dfrac{-\pi}{24}
L'ensemble de solutions S de l'équation \text{sin}(-2x+\dfrac{2\pi}{3}) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} dans \left]-\pi ; \pi\right] est donc :
S= \left]-\pi ; \dfrac{-\pi}{24} \right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{24}; \pi \right]