On souhaite étudier les variations de la fonction f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) sur [0; \pi[
Pourquoi peut-on étudier les variations de f sur [0; \pi[ ?
On a, pour x \in \mathbb{R} :
f(x + \pi) = \cos^2(x + \pi) - \sin^2(x+ \pi)
Or :
\sin(x + \pi) = -\sin(x)
et
\cos(x+\pi) = -\cos(x)
Donc :
f(x + \pi) = \left( -\cos(x) \right)^2 - \left( -\sin(x) \right)^2
f(x + \pi) = \cos^2(x) -\sin^2(x)
f(x + \pi) =f(x)
On en déduit que f est \pi -périodique.
Que peut-on dire de \cos^2(x) - \sin^2(x) pour tout x dans \mathbb{R} ?
Pour tout x,y \in \mathbb{R} , on a :
\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)
Donc :
\cos(x+x) = \cos(2x) = \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x)
Ainsi, \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) .
Quelle est la dérivée de f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) sur [0; \pi[ ?
On sait que :
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
Donc :
f(x) = \cos(2x)
Et on peut dériver f sur [0;\pi[ :
f'(x) = \left( \cos(2x) \right)'
Ainsi, f'(x) = - 2 \sin(2x) .
En quelle valeur de x est atteint le maximum de f sur [0;\pi[ ?
Pour connaître les extrema de f , on étudie ses variations.
Pour cela, on regarde le signe de la dérivée :
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow -2\sin(2x) \geq 0
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow \sin(2x) \leq 0
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2x \in \left[ \pi; 2\pi \right]
f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}; \pi \right]
Ainsi, f est croissante sur \left[ \dfrac{\pi}{2}; \pi \right[ , décroissante sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right] avec \cos(2x)\leqslant1 pour x\in[0 ; \pi[.
On a :
f(0) = 1
f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = -1
Ainsi, le maximum de f est atteint en x = 0 et vaut 1 .